Números complejos Complejos. Raíz n-ésima de un número complejo Al calcular las raíces n-ésimas de un número complejo «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«/math» y luego ubicarlas en un plano complejo se obtiene un polígono regular de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«/math» lados centrado en el origen. Escriba las coordenadas exactas del vértice marcado en rojo en el siguiente gráfico:

#graf

Sabiendo que los vértices del polígono se encuentran en el conjunto solución de la ecuación:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»z«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«/math»

Observación: el número complejo que se pide como respuesta se puede escribir de las siguientes formas:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»§#952;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«/msup»«/math» forma de euler.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#952;«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#952;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» forma polar.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»b«/mi»«/math» forma cartesiana.

]]> 1.0000000 0.3333333 0 0 #r1#n1·e#u1·i]]> #sol Esta es una aproximación, no es el valor exacto.

]]> <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>n1</mi><mo>∈</mo><mo>{</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>7</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>}</mo></mrow><mrow><mi>a1</mi><mo>=</mo><pi/><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></mrow><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>n1</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mi>a1</mi><mo>=</mo><pi/><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></mrow><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>n1</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mrow><mrow><mi>a1</mi><mo>=</mo><pi/><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></mrow><mrow><mi>a1</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></apply></apply></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d1</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>0</mn><mo>*</mo><mi>distancia</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>cos</mi><mfenced><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced><mo>,</mo><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>sen</mi><mfenced><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>d1</mi><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>d1</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">for</csymbol><mrow><mi>i</mi><mo> </mo><mi>en</mi><mo> </mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mi>n1</mi></mrow><mtable><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">local</csymbol><mtable 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definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">local</csymbol><mtable align="top"><mtr><mtd><mi>Q</mi></mtd></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>Q</mi><mo>=</mo><mi>segmento</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>cos</mi><mfenced><mfrac><mrow><mi>i</mi><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced><mo>,</mo><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>sen</mi><mfenced><mfrac><mrow><mi>i</mi><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>cos</mi><mfenced><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced><mo>,</mo><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>sen</mi><mfenced><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>segmento</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>cos</mi><mfenced><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced><mo>,</mo><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>sen</mi><mfenced><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>cos</mi><mfenced><mfrac><mrow><mi>n1</mi><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced><mo>,</mo><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><mi>sen</mi><mfenced><mfrac><mrow><mi>n1</mi><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math 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definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mrow><mi>w1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mi>n1</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>X1</mi><mo>*</mo><mi>Y1</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mrow></apply></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math 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xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u1</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>w1</mi><mo>*</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow><mi>n1</mi></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi><mo>=</mo><mroot><mi>r1</mi><mi>n1</mi></mroot><mo>*</mo><msup><exponentiale/><mrow><mi>u1</mi><mo>*</mo><imaginaryi/></mrow></msup></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>graf</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tablero1</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>8</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t2</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mo>)</mo></math></input><output><math 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