/ 035 - Qual é a distância do ponto Qual é a distância do ponto (#a, #b, #c) para a linha recta que passa pela origem e pelo ponto (#d, #e, #f)?

Ao expressar o resultado use apenas duas casas decimais usando um ponto como o separador.

]]> A distância do ponto (#a, #b, #c) para a linha reta que passa pela origem e pelo ponto (#d, #e, #f) será o módulo de um perpendicular a linha reta e que passa pelo ponto (#a, #b, #c). Esse será o vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/math» que é dado por:

A norma euclidiana (ou módulo) do vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» é dada por :

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»/«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«/math».

Fazendo-se «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», teremos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«/math»

O vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/math» terá um módulo mínimo quando ele for perpendicular ao vetor dado (#d, #e, #f) e que passa pela origem. Assim, o vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/math» terá módulo mínimo quando (considerando-se o valor de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math») a derivada «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», portanto:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«/math»

Solucionando-se a equação em «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math», nós acharemos que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»y«/mi»«/math» (Obs.: consideraremos apenas a parte real da solução).

Você pode chegar a essa solução usando o comando do Matlab:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mo»(«/mo»«mo»`«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»`«/mo»«mo»)«/mo»«/math»

Dai:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»x«/mi»«mi»x«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»y«/mi»«mi»y«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»z«/mi»«mi»z«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»m«/mi»«/math»

]]> 1.0000000 0.3333333 0 0 #m <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="en" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="pt">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>random</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>random</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>random</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><mo>=</mo><mi>random</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi><mo>=</mo><mi>random</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>=</mo><mi>random</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mo>=</mo><mo>[</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>]</mo><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>*</mo><mo>[</mo><mi>d</mi><mo>,</mo><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>f</mi><mo>]</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>w</mi><mo>=</mo><msup><mfenced close="‖" open="‖"><mi>v</mi></mfenced><mn>2</mn></msup></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><apply><diff/><bvar><mi>k</mi></bvar><mi>w</mi></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi><mo>=</mo><mi>solve</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msub><mi>R</mi><mn>1</mn></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>xx</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>*</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>yy</mi><mo>=</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>*</mo><mi>e</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>zz</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>*</mo><mi>f</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>[</mo><mi>xx</mi><mo>,</mo><mi>yy</mi><mo>,</mo><mi>zz</mi><mo>]</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>=</mo><mfenced close="‖" open="‖"><mi>n</mi></mfenced><mo>*</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>0</mn></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>9.3607</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session>]]></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer>#m</correctAnswer><correctAnswer id="1"></correctAnswer><correctAnswer id="2"></correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression"/><assertion name="equivalent_symbolic"/></assertions><options><option name="precision">2</option><option name="tolerance">10^(-4)</option><option name="relative_tolerance">false</option><option name="implicit_times_operator">false</option><option name="times_operator">·</option><option name="imaginary_unit">i</option></options><localData><data name="inputField">textField</data><data name="gradeCompound">and</data><data name="gradeCompoundDistribution"></data><data name="casSession"></data></localData></question>