Geometría analítica/2. Cónicas GEO. ANALÍTICA 3. 3. 4 Problemas aplicados con parábolas. Un arco parabólico tiene #a metros de altura y #b metros de ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola, ¿A qué altura sobre la base tiene un ancho de #d metros?


]]>

Solución:

Con los datos entregados, podemos graficar la situación de la siguiente manera:

#p1


Como la parábola es vertical y cóncava hacia abajo, su ecuación es de la forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/math» con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

Donde el vértice es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/math», en nuestro caso «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math». Reemplazando estos valores en la ecuación, obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

Para conocer el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» reemplazamos un punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» perteneciente a la parábola (distinto del vértice). En nuestro caso, como el ancho del arco es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b«/mi»«/math» metros y el eje de simetría de nuestra parábola es el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math», entonces uno de los extremos del arco es el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math», por lo tanto, al reemplazar obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math» /multiplicando los términos correspondientes.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b4«/mi»«mo»·«/mo»«mi»c«/mi»«/math» /multiplicando por el inverso multiplicativo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b4«/mi»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#b3«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#b4«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b5«/mi»«/math»

Por lo tanto, reemplazando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» en la ecuación anterior se obtiene:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#b5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

La pregunta: ¿A qué altura sobre la base tiene un ancho de #d metros?, quiere decir que dado el ancho (coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math») estamos buscando el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math»(que es la altura) y lo representamos con el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» perteneciente a la parábola.

Reemplazando este punto en la ecuación «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math», obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math» /multiplicando los términos correspondientes.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#c2«/mi»«/math» /sumando el inverso aditivo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c2«/mi»«/math».

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#c2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«/math» /multiplicando por el inverso multiplicativo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b6«/mi»«/math».

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#c3«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#b6«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c4«/mi»«/math»


Por lo tanto, cuando el arco tiene un ancho de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d«/mi»«/math» metros, su altura es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c4«/mi»«/math» metros.


]]> 1 1 0 0 0 #c4 ¡Muy bien! Sigue así.
]]> #sol2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mfrac»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»c«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mfrac»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§isin;«/mo»«naturalnumbers/»«mo»§and;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mi»parábola«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»45«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»p«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»V«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»B«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»C«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»V«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V«/mi»«mo»+«/mo»«mo»[«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»]«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»B«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»B«/mi»«mo»+«/mo»«mo»[«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»]«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»C«/mi»«mo»+«/mo»«mo»[«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»]«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Retroalimentación«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»b«/mi»«mo»/«/mo»«mn»2«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b3«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»b3«/mi»«mo»/«/mo»«mi»b4«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b6«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b5«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b6«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»c3«/mi»«mo»/«/mo»«mi»b6«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»c4«/mi»«mo»)«/mo»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»28«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c4«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»49«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«mi»y1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»196«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»testFunctionName%5B1%5D=test&testFunction%5B1927%5D=1