Geometría analítica/2. Cónicas GEO. ANALÍTICA 3. 1. 7 Dado el gráfico y ecuación de una hipérbola, determina vértices, focos y asíntotas. En la siguiente figura se muestra el gráfico de una hipérbola

#graf

de ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»

Los focos, vértices y ecuaciones de sus asíntotas son:

]]> Solución:

Los siguientes gráficos muestran las hipérbolas con eje focal horizontal y vertical, respectivamente.

hipérbola horizontal

hipérbola vertical

En este ejercicio, la hipérbola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math». Luego tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as1«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Observemos que de la figura adjunta de eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» tenemos lo siguiente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en el eje focal.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en la recta perpendicular al eje focal.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a alguno de los focos.

La ecuación de la hipérbola de este ejercicio es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»

de la cual podemos encontrar su centro:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#center«/mi»«/math»

luego tenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

Para calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», utilizamos la relación dada en la hipérbola

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»

reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» calculados, se tiene:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Como tenemos los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», reemplazamos en las coordenadas de los focos, vértices y en las asíntotas obteniendo:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, la solución es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #op1 Ten en cuenta que esta hipérbola tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» y entonces los focos son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> #op2 Observa que del gráfico de esta hipérbola se concluye que tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math»; por lo tanto, los vértices vienen dados por la fórmula:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> #op3 Recuerda que las asíntotas para la hipérbola de eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»#d_11«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#d_12«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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