Geometría analítica/2. Cónicas GEO. ANALÍTICA 3. 1. 3 Dado el gráfico de una parábola, determina vértice y directriz. Dado el gráfico de la siguiente parábola:

#graf

Donde la recta de color verde es la directriz de la parábola y la medida del segmento de color rojo es la distancia entre la directriz y el vértice de esta (cuyo valor es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c2«/mi»«/math»). Además, se muestra el foco de la parábola que tiene como coordenadas «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mi»#F1«/mi»«/math» ; por lo tanto, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz son:

]]> Solución:

Las ecuaciones que describen a la parábola y sus elementos son:

  • Parábola con eje focal paralelo al eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»Y«/mi»«/math»

    «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
    si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mi»k«/mi»«/math» entonces, la parábola se abre hacia arriba y, si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi»k«/mi»«/math» , entonces, la parábola se abre hacia abajo.

  • Vértice: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
  • Foco: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
  • Directriz: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»L«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math»
  • Parábola con eje focal paralelo al eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»X«/mi»«/math»

    «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
    si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mi»h«/mi»«/math» entonces, la parábola se abre hacia la derecha y si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi»h«/mi»«/math», entonces la parábola se abre hacia la izquierda.

  • Vértice: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».
  • Foco: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».
  • Directriz: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»L«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math»

En este caso, la parábola se abre hacia «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d5«/mi»«/math», luego tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math» ,

la coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math» del foco es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d6«/mi»«/math»

y la coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d7«/mi»«/math».

Como el foco de esta parábola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mi»#F1«/mi»«/math» igualando coordenadas tenemos que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#Fx«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d9«/mi»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#Fy«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d10«/mi»«/math»

Luego, el vértice de la parábola es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#center«/mi»«/math».

Como la parábola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d5«/mi»«/math», entonces la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d11«/mi»«/math», reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», tenemos que la ecuación de la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»L«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#d«/mi»«/math»

Por lo tanto, la alternativa correcta es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol

¡Excelente!
]]> #op1 Recuerda que la ecuación de la recta que describe a la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math»

y también, que las coordenadas del vértice son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math».

]]> #op2 Recuerda que la ecuación de la recta que describe a la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math»

y que el foco de esta parábola es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/math».

]]> #op3 Del gráfico, puedes observar que la parábola se abre hacia «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d5«/mi»«/math» y que, por lo tanto, la ecuación que describe a la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math».

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨»librería«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»p1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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