Geometría analítica/2. Cónicas GEO. ANALÍTICA 3. 1. 2 Dado el gráfico y ecuación de una elipse, determina centro y focos. La elipse de ecuación

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#elip«/mi»«/math»

cuyo gráfico es

#graf

tiene como focos y centro a los puntos de coordenadas:

]]> Solución:

Recordemos que las ecuaciones de las elipses con eje focal horizontal y vertical son, respectivamente:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del centro de la elipse, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» es la distancia del centro al vértice que pasa por el eje mayor y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» es la distancia del centro al vértice que pasa por el eje menor.

Las coordenadas del centro de esta elipse son «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».

Como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«/math» , entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b1«/mi»«/math».

Las ecuaciones que describen las coordenadas de los focos de la elipse son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Para calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» , usamos la siguiente propiedad que se cumple en toda elipse «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», reemplazamos

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»,

despejamos y obtenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math». Como en este caso la elipse tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math», tenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F12«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F2«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #op1 Observa que en el gráfico de la elipse, los focos están sobre una recta «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math», por lo tanto, los focos se calculan como

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F12«/mi»«/math».

]]> #op2 Al parecer calculaste mal los valores de las coordenadas del centro; en este caso son: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math». Con esos valores reemplazas en las coordenadas del foco.

]]> #op3 La elipse tiene como eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math» y los focos tienen como coordenadas «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F12«/mi»«/math»; además, las coordenadas del centro son: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math».

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»el«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a2«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»center«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ancho«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»máximo«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h2«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k2«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alto«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ancho«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ancho«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»alto«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»graf«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»el«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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