Geometría analítica/2. Cónicas GEO. ANALÍTICA 3. 1. 1 Dado el gráfico de una elipse, determina centro y focos. Dado el gráfico de la siguiente elipse

#graf

cuyos vértices son los puntos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V2«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V4«/mi»«/math», entonces, tiene como centro y focos a los puntos:

]]> Solución:

Observemos los gráficos de las elipses de eje focal horizontal y vertical:

elipse horizontal Elipse vertical

En estos gráficos notamos que el centro lo podemos calcular como el punto medio de los vértices que están en la recta que une los focos (eje focal), es decir, si sus vértices son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

y el punto medio se calcula como:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»p«/mi»«mi»u«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/math»

En este caso, los vértices son «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V5«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V6«/mi»«/math», luego

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»#e1«/mi»«mi»#d5«/mi»«mi»#e2«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#e3«/mi»«mi»#d6«/mi»«mi»#e4«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#e5«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#e6«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Ahora, para calcular las coordenadas del foco, primero debemos calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» que es la distancia del centro al foco de la elipse. Para ello, utilizamos la siguiente relación de la elipse:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»,

donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» es la distancia del centro de la elipse al vértice contenido en el eje focal y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» es la distancia del centro a la recta que es perpendicular al eje focal y que pasa por el centro.

Despejando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» y reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» tenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»#f3«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#f4«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#f1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math».

Como la elipse es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math» , las coordenadas de los focos vienen dadas por

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»

Reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», obtenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, la solución es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol

Bien. Continúa de esta manera.
 ]]> #op1 Recuerda que la elipse es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math», y los focos tienen coordenadas

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math».

]]> #op2 Las coordenadas del centro de la elipse son

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

Con esas coordenadas debes reemplazar la elipse en las coordenadas del foco, que son

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»

]]> #op3 Recuerda que la elipse tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math» y sus focos son

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»

también las coordenadas del centro de la elipse son

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

Con esas coordenadas debes reemplazar la elipse en las coordenadas del foco .

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»el«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a2«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»center«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ancho«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»*«/mo»«mi»máximo«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»*«/mo»«mi»máximo«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ancho«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»alto«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»graf«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»el«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»a2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V11«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V22«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»PM«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»e1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»e7«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»e2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»e7«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»e3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»e4«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol 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