Geometría analítica/1. Puntos, distancia entre puntos y rectas GEO. ANALÍTICA 2. 2. 1 Determina la ecuación de la recta, dado su gráfico. Determina la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#P2«/mi»«/math» y que está representada por la siguiente gráfica:

#dib

]]> Solución:

Utilizaremos la ecuación punto-punto:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/math» ; donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#P1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#P2«/mi»«/math»
para determinar la ecuación principal de la recta.

Recuerda que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math», corresponde a la pendiente de la recta (m). Para nuestro caso

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#y2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#y1«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#x2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#x1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#r2«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#r3«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#m1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Reemplazando cualquiera de los puntos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P1«/mi»«/math» o «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P2«/mi»«/math» en la fórmula (en este caso reemplazaremos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P1«/mi»«/math»), tenemos que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#m1«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#x1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#m1«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#r4«/mi»«mo»)«/mo»«/math» / desarrollando la multiplicación de la derecha obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r5«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#r8«/mi»«/math» / despejando la variable "y" obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r5«/mi»«mi»#c7«/mi»«mi»#r7«/mi»«/math»

Por lo tanto, la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos #P1 y #P2 es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#L1«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 0 0 #L1 Bien. Continúa de esta manera. ]]> #sol2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Definición«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»puntos«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»en«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»el«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»plano«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»cambié«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»la«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»definición«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»para«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»que«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»estén«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»separados«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»x1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»*«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»*«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»y2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»y1«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»y1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»y2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»y1«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/mfenced»«mo»§and;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»*«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»*«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»y2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»y1«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»y1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Puntos«/mi»«mo»:«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Definición«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»pendiente«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»coeficiente«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»libre«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»la«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»recta«/mi»«mo»:«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»y2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»y1«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»m1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»y1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»y1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m1«/mi»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r6«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y1«/mi»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Definición«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»ancho«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»máximo«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»entre«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»los«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»cortes«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»las«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»coordenadas«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»los«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»puntos«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»P2«/mi»«mo»:«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»m1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»an«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max«/mi»«mo»(«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»x1«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»x2«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«mi»m1«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»an«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max«/mi»«mo»(«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»x1«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»x2«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Definición«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»alto«/mi»«mo»:«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»al«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max«/mi»«mo»(«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»y1«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»y2«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»b1«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Centro«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»medio«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»entre«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»los«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»cortes«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»con«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»los«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»ejes«/mi»«mo»:«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»P1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»P2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«mo»:«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»an«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»al«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»L1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dib«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»L1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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