Geometría analítica/1. Puntos, distancia entre puntos y rectas GEO. ANALÍTICA 1. 1. 3 Perímetros de un triángulo dado sus puntos El perímetro del triángulo formado por los puntos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#b«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#d«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#e«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#f«/mi»«mo»)«/mo»«/math» es:
#Dib



]]> Solución:

Para poder calcular el perímetro de un triángulo, necesitamos conocer las medidas de sus lados.
Lo primero que haremos, será calcular la longitud de cada uno de los lados del triángulo, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos. Recordemos que la distancia entre los puntos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»Q«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/math», se calcula con la fórmula siguiente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mroot»«mrow»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mroot»«/math»
Ahora, obtendremos las longitudes («math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»Q«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»R«/mi»«mi»Q«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«/math») de los lados del triángulo:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»Q«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#c1«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#b«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#d1«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»#ac«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#bd«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#ac2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#bd2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#re1«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#dabcd«/mi»«/math»
Así, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»Q«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#dabcd«/mi»«/math».
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#e1«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#b«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#f1«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»#ae«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#bf«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#ae2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#bf2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#re2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#dabef«/mi»«/math»
Así, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#dabef«/mi»«/math».

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»Q«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#e«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#c1«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#d1«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»#ec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#fd«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#ec2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#fd2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#re3«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»Q«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#defcd«/mi»«/math»


Así, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»Q«/mi»«mo»,«/mo»«mi»R«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#defcd«/mi»«/math».

Sabemos que el perímetro de un triángulo se obtiene sumando las longitudes de sus tres lados, por lo que el perímetro de nuestro triángulo está dado por:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»Q«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mover»«mrow»«mi»R«/mi»«mi»Q«/mi»«/mrow»«mo»¯«/mo»«/mover»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#dabcd«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#dabef«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#defcd«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#sumap«/mi»«/math»
Por lo tanto, el perímetro del triángulo es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sumap«/mi»«/math» unidades.

]]> 1 1 0 0 0 #Perimetro ¡Muy bien! Sigue así.
 ]]> #B Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»e«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dabcd«/mi»«mo»=«/mo»«mi»distancia«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dabef«/mi»«mo»=«/mo»«mi»distancia«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»e«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»defcd«/mi»«mo»=«/mo»«mi»distancia«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»e«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»es«/mi»«mo»?«/mo»«mo»(«/mo»«mi»dabcd«/mi»«mo»,«/mo»«rationals/»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»cierto«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»es«/mi»«mo»?«/mo»«mo»(«/mo»«mi»dabef«/mi»«mo»,«/mo»«rationals/»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»cierto«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»es«/mi»«mo»?«/mo»«mo»(«/mo»«mi»defcd«/mi»«mo»,«/mo»«rationals/»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»cierto«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»b«/mi»«mo»-«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»§ne;«/mo»«mfrac»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»-«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»e«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T«/mi»«mo»=«/mo»«mi»triángulo«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»e«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Perimetro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»perímetro«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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