ALGEBRA/5 Ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones ALGEBRA 2.3.2 Sistemas de ecuaciones lineales, método de eliminación Al resolver el sistema de ecuaciones «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«menclose notation="bottom"»«menclose notation="right"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#a1«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#b1«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#a2«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#b2«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/menclose»«/menclose»«/math» obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#x1«/mi»«mo»=«/mo»«/math»{#1}
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«/math»{#2}


]]> Solución

Para resolver el sistema existen diversos métodos: eliminación, sustitución, igualación y Crammer. En este caso realizaremos el método de eliminación.

Dado:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«menclose notation="bottom"»«menclose notation="right"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#a1«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#b1«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#a2«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#b2«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/menclose»«/menclose»«/math»

Primero elegimos la variable a eliminar. Por ejemplo si elegimos la variable "#x1" , tenemos que multiplicar la primera ecuación por un número y la segunda ecuación por otro de tal forma que los coeficientes resultantes que multiplican a la variable "#x1" sean iguales en valor absoluto pero con signos opuestos:


«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«menclose notation="bottom"»«menclose notation="right"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#a1«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#b1«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#a2«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#b2«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/menclose»«/menclose»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»/«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»·«/mo»«mi»#a22«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»/«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»·«/mo»«mi»#a11«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Al multiplicar obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«menclose notation="bottom"»«menclose notation="right"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#a3«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s4«/mi»«mi»#b3«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c3«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#a4«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s5«/mi»«mi»#b4«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/menclose»«/menclose»«/math»
Sumando las dos ecuaciones nos queda:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«menclose notation="updiagonalstrike"»«mrow»«mi»#a3«/mi»«mi»#x1«/mi»«/mrow»«/menclose»«mi»#s4«/mi»«mi»#b3«/mi»«mi»#y1«/mi»«menclose notation="updiagonalstrike"»«mrow»«mi»#s6«/mi»«mi»#a5«/mi»«mi»#x1«/mi»«/mrow»«/menclose»«mi»#s5«/mi»«mi»#b4«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c3«/mi»«mi»#s7«/mi»«mi»#c5«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a6«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c6«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a6«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»·«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»#a6«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#c6«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#a6«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#sol2«/mi»«/math»

Ahora sólo nos falta determinar el valor de "#x1", para esto podemos reemplazar «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#sol2«/mi»«/math» en cualquiera de las dos ecuaciones originales y despejar "#x1", por ejemplo, si reemplazamos en la primera ecuación obtenemos:


«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a1«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#b1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#c7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a1«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s8«/mi»«mi»#a7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mi»#s9«/mi»«mi»#a7«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a1«/mi»«mi»#x1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«mi»#s9«/mi»«mi»#a7«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a1«/mi»«mi»#x1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c9«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»·«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#x1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#c9«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8660;«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#x1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#sol1«/mi»«/math»


Por lo tanto la solución para el sistema es: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#x1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#sol1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#sol2«/mi»«/math»
]]> 2 1 0 0 Al resolver el sistema de ecuaciones «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«menclose notation="bottom"»«menclose notation="right"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#a1«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#b1«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#a2«/mi»«mi»#x1«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#b2«/mi»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/menclose»«/menclose»«/math» obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#x1«/mi»«mo»=«/mo»«/math»{1:SA:=\#sol1#¡Muy bien!}
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#y1«/mi»«mo»=«/mo»«/math»{1:SA:=\#sol2#¡Excelente!}


]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»g«/mi»«mo»,«/mo»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»t«/mi»«mo»,«/mo»«mi»v«/mi»«mo»,«/mo»«mi»x«/mi»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R1«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»,«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»m«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»n«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»q«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»s«/mi»«mo»,«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»,«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»w«/mi»«mo»,«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R1«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»15«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»15«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»b22«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»b11«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§and;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»a1«/mi»«/mfenced»«mo»§ne;«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»a2«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»b11«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»b22«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»b11«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»s1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»s1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»b22«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»s2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»s2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»sol1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b11«/mi»«mo»*«/mo»«mi»sol2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»sol1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b22«/mi»«mo»*«/mo»«mi»sol2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»mcd«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a22«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»a2«/mi»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mi»m1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»a11«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»a1«/mi»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mi»m1«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»a11«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»a1«/mi»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mi»m1«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a22«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b3«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»b11«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a22«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a11«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b4«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»b22«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a11«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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