Derivadas/4 Aplicaciones RA7 4.4 Optimización: Minimizar material usado en cilindro con volumen dado. e desea construir un envase con forma de cilindro circular recto. Este envase debe contener un volumen de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V1«/mi»«/math». Si el fondo y la tapa tiene doble espesor que la parte lateral del cilindro, entonces el valor del radio que minimiza la cantidad de material es:

]]> Solución:

Para resolver el problema, notemos que la pregunta es hallar las dimensiones del radio que minimiza el cantidad de material. Para esto, empezamos definiendo las variables, sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» el radio de la base del cilindro y sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» la altura del cilindro.
Con esto tenemos,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»p«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
El problema pide minimizar material, y como se necesita doble espesor en la tapa y fondo del envase, tenemos que la función a minimizar es
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Ahora, el volumen a contener es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V1«/mi»«/math»; entonces,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V0«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/math»
Despejando la variable «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» en la fórmula anterior:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#V0«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»#V0«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego de despejar la variable «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» , la reemplazamos en la ecuación de Área; quedando
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mfrac»«mi»#V0«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«mi»R«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«mi»R«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como el ejercicio pide minimizar material, debemos derivar la función área con respecto a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math»,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»#V2«/mi»«/mrow»«mi»R«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Igualamos a cero para obtener los puntos críticos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»R«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»#V3«/mi»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mroot»«mi»#R0«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Así, el punto crítico de la función área es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#R1«/mi»«/math».
Ahora, calculamos el signo que posee la derivada de la función área «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»i«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§lt;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mroot»«mi»#R0«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»i«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mroot»«mi»#R0«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, el valor del radio que minimiza la función costo total es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«/math». ]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Excelente!]]> #op1 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!

]]> #op2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #op3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V00«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V0«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»V00«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V0«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«msup»«mi»metro«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced»«msup»«mi»metro«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V2«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V3«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R0«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»*«/mo»«mi»§pi;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mroot»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»R0«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»metro«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alternativas«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op01«/mi»«mo»=«/mo»«mn»12«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«mo»*«/mo»«mroot»«msup»«mi»R0«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mn»3«/mn»«/mroot»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op02«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»§pi;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»*«/mo»«mroot»«msup»«mi»R0«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mn»3«/mn»«/mroot»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op03«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»125«/mn»«mrow»«mi»§pi;«/mi»«mo»*«/mo»«mroot»«mi»R0«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»op01«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»metro«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»op02«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»metro«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»op03«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»metro«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«/session»;;;;;;