Derivadas/4 Aplicaciones RA7 3.3 Razón de Cambio: Montículo de arena cónico formándose. La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math» .
El grano forma un cono circular recto, cuya altura es constantemente igual a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b«/mi»«/math» del radio de la base.

Arena

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#pregunta«/mi»«/math»
]]> Solución:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado1«/mi»«/math»


triangulo
El volumen del cono formado por la arena en un instante «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math», viene dado por:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/math»
Como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math»
En consecuencia:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#e«/mi»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» (1) con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
Derivando la expresión (1) respecto a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math» y buscando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (2)

Sabemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/math» sustituyendo en (2):
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mi»§#960;«/mi»«mi»#g«/mi»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#i«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#j«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»#nj«/mi»«mrow»«mi»#dj«/mi»«mo»·«/mo»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8776;«/mo»«mi»#k«/mi»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math»
Que es la velocidad con la que sube el vértice del cono de grano en el instante en que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado2«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado3«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado4«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado5«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado6«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado7«/mi»«/math»


]]> 1 1 0 1 truetrue 123 #alt1 ¡Excelente! Sigue así. ]]> #alt2 ¡Excelente! Sigue así. ]]> #alt3
Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> #alt4 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»letrah«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»letrar«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»letrat«/mi»«mo»=«/mo»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»1«/mn»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»29«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»7«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mn»8«/mn»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»e«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ee«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»me«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol 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