Derivadas/4 Aplicaciones RA7 3.1 Razón de Cambio: mancha de petróleo. Se han derramado «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#v«/mi»«/math» de petróleo en el mar, dejando una mancha con forma de cilindro recto circular.

Calcula la rapidez con que aumenta el radio de la mancha si el espesor disminuye a razón de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math» en el instante en que su radio es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r«/mi»«/math»

]]>

Solución:

Para resolver el ejercicio, debemos hallar la velocidad con que aumenta el radio «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» a medida que la mancha se expande sobre la superficie del mar en el instante en que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math».

Sabemos que el volumen de la mancha permanece constante y que está en función del radio «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» y de la altura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math», los que varían respecto al tiempo.

Como la mancha es de forma cilíndrica, su volumen está dado por:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8704;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

Derivamos ambos miembros de la igualdad respecto a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math»:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

Como el volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math» es constante (independiente del tiempo) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».

Por lo tanto, de la igualdad anterior obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

Despejando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

Los datos que tenemos son los siguientes:«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#v«/mi»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math» (este valor es negativo ya que el espesor de la mancha "disminuye" a razón de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math»)

De la relación «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math» despejamos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math»:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Debemos trabajar en las mismas unidades de medida, por lo tanto, como el volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»está en #u3, escribiremos el radio «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» en #u4.

Por lo tanto, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c3«/mi»«/math»

Reemplazando en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#v«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#c3«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«/math»

Finalmente, sustituimos los valores en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/math»:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#c3«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#h1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mo»-«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#sol3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8776;«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, la velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math» es aproximadamente de #s1.

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #s1 ¡Muy bien! Continúa de esa manera.

]]> #s2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #s3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #s4 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#k¨»km«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»50«/mn»«mo»,«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#k¨»km«/csymbol»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»30«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#k¨»km«/csymbol»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mi»v«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mi»km«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#k¨»km«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»u1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»u2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»u3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mi»v«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»u4«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mi»u3«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§lt;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»u4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»u2«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»u1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»u4«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ut«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/hour¨»h«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/second¨»s«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/minute¨»min«/csymbol»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»convertir«/mi»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mroot»«mi»v«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»v«/mi»«mrow»«msup»«mi»c3«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«pi/»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sol1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»r«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»*«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»ut«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sol2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»r«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»*«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»coeficiente«/mi»«mo»(«/mo»«mi»sol1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo».«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»coeficiente«/mi»«mo»(«/mo»«mi»sol2«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»/«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»co1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»u4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»/«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»co2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»u2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mi»redondear«/mi»«mo»(«/mo»«mi»co1«/mi»«mo»*«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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