Derivadas/3 Análisis de Curvas RA7 2.5 Dada f indicar donde está el máximo o mínimo (cúbica) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» encuentra un #m local en x=

]]> Recordemos que los máximos o mínimos locales se determinan encontrando los puntos críticos de la función derivada y luego se analizan con la segunda derivada.

Para nuestra pregunta: 
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
En efecto, los puntos críticos de la derivada se obtendrán resolviendo la siguiente ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#df«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8658;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close="" open="{"»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»
reemplazando..
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close="" open="{"»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#b1«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#b1«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»
Ahora necesitamos evaluar estos puntos en la segunda derivada

Calculamos la segunda derivada
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ddf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
reemplazando los puntos críticos que obtuvimos en el paso anterior...
para x=#r1 tenemos que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#p1«/mi»«mi»#r1«/mi»«mi»#p2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ev1«/mi»«/math»
como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ev1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»podemos inferir que el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#r1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» se encuentra en un parte de la curva de f donde es cóncava hacia #con1 , por lo tanto la función encuentra un #t1 local en x=#r1 
Ahora veremos qué pasa con x=#r2
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#p3«/mi»«mi»#r2«/mi»«mi»#p4«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ev2«/mi»«/math»
como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ev2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»podemos inferir que el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#r2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» se encuentra en un parte de la curva de f donde es cóncava hacia #con2 , por lo tanto la función encuentra un #t2 local en x=#r2
El gráfico muestra en rojo, el punto que buscábamos

#g

]]> 1 0.1 0 0 0 #correcto «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»máximo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»mínimo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dis«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»dis«/mi»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»l«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ddf«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»dis«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«mo»-«/mo»«mi»dis«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»r1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»r2«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ev1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»evaluar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»ddf«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ev2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»evaluar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»ddf«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»ev1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»máximo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»des1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»con1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»abajo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»correcto«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»mínimo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»con1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»arriba«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»des1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol 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