Derivadas/3 Análisis de Curvas El gráfico de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» que satisface «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cond«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» , si y sólo si

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#i«/mi»«/math» es:

]]> Solución:

Para resolver, debemos recordar el criterio de la segunda derivada que postula lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función dos veces derivable en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»:

- «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava hacia arriba en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

- «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava hacia abajo en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

En nuestro caso, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cond«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#i«/mi»«/math».

Por lo tanto, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava hacia #co en #i.

Lo que se refleja en el siguiente gráfico:

#sol

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Excelente!

]]> #sol2 Identifica bien los intervalos de concavidad según el criterio de la segunda derivada. ¡Tú puedes!

]]> #sol3 Identifica bien los intervalos de concavidad según el criterio de la segunda derivada. ¡Tú puedes!

]]> #sol4 Identifica bien los intervalos de concavidad según el criterio de la segunda derivada. ¡Tú puedes!

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»cond«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cond«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»[«/mo»«mo»§cup;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»abajo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»[«/mo»«mo»§cup;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»arriba«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»f2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F1«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»max1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»máximo«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F1«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F1«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F1«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F3«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max1«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p3«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max1«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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