Derivadas/3 Análisis de Curvas RA7 1.7 Determinar intervalo donde f es cóncava o convexa. La función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es  #cr si:]]> Solución:
Para resolver esta pregunta, debemos recordar lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función dos veces derivable en su dominio:

- Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math», «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es #cr en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

Entonces, la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #cr cuando:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» 
Entonces, calculamos la segunda derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#ddf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como ya sabemos, para que h(x) sea #cr se debe cumplir que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#ddf«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#pinf«/mi»«/math»
Es decir,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mi»#pert«/mi»«mi»#r1«/mi»«mi»#r2«/mi»«mi»#r3«/mi»«mi»#r4«/mi»«mi»#r5«/mi»«/math»
Observemos la gráfica de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math»
#t1
Si observas el gráfico, está marcada en rojo la parte donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» es #cr. Fíjate que coincide con el resultado obtenido.
]]> 1 1 0 1 truetrue abc x#pert#r1#r2#r3#r4#r5 ¡Excelente!]]> x#pert#r1#in#r3#sup#r5 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
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]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»convexa«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ddf«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»df«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»pinf«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»pert«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§isin;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»des«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»des«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»re«/mi»«mo»=«/mo»«reals/»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»pinf«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»op«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sup«/mi»«mo»=«/mo»«mi»op«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in«/mi»«mo»=«/mo»«mi»op«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sup«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»200«/mn»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»pinf«/mi»«mo»,«/mo»«mn»9999«/mn»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»200«/mn»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9999«/mn»«mo»,«/mo»«mi»pinf«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tablero1«/mi»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;;