Derivadas/3 Análisis de Curvas RA7 1.4 Determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente. La función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #cr si y sólo si:

]]> Solución:

Recordemos que la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» será #cr si:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Entonces, necesitamos calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/math»

Por lo tanto, debemos encontrar la solución de la siguiente inecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#df«/mi»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Para esto debemos encontrar los puntos críticos de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», que se obtienen
resolviendo la siguiente ecuación de segundo grado:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Para resolverla utilizamos la fórmula:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»±«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Así, de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»obtenemos los parámetros:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#bp«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»
Reemplazando estos valores en la fórmula obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#bp«/mi»«mo»)«/mo»«mo»±«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#bp«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»±«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close="" open="{"»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r6«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, podemos escribir la inecuación de la siguiente manera:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#p1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mi»#p2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#p3«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mi»#p4«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

Para que este producto sea #des 0 se debe cumplir que ambos factores sean de #comentario signo, es decir:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#op«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Resolviendo cada inecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des1«/mi»«mi»#r4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des2«/mi»«mi»#r6«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#op«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des3«/mi»«mi»#r4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des4«/mi»«mi»#r6«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

Escribiendo como intervalos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in2«/mi»«mo»[«/mo»«mo»§#8745;«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in4«/mi»«mo»[«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cj«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in5«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in6«/mi»«mo»[«/mo»«mo»§#8745;«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in8«/mi»«mo»[«/mo»«mo»)«/mo»«/math»

Resolviendo, obtenemos:

x#pert#r1#r2#r3#r4#r5#r6#r7

Observemos el gráfico de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math»



#t1
Si observas el gráfico, en rojo está marcada la parte #cr, que coincide con el resultado obtenido.
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #x1#pert#r1#r2#r3#r4#r5#r6#r7 ¡Excelente! ]]> #x1#pert#w1#w2#w3#w4#w5#w6#w7
Revisa el desarrollo para identificar tus errores.
]]> #x1#pert#q1#q2#q3#q4#q5
Revisa el desarrollo para identificar tus errores.
]]> #x1#pert#k1#k2#k3#k4#k5
Revisa el desarrollo para identificar tus errores.
]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»j«/mi»«mo»=«/mo»«mi»raíces«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»nj«/mi»«mo»=«/mo»«mi»longitud«/mi»«mo»(«/mo»«mi»j«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«mo»§and;«/mo»«mi»nj«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§and;«/mo»«msub»«mi»j«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»creciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»decreciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ap«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»bp«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»mbp«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»bp«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»disc«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»bp«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»ap«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»de«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»ap«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»creciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»des«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol 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