Derivadas/2 Implícita, regla de la cadena y recta tangente RA7 1.1 Determina ecuación recta tangente y normal c/gráfico. Encuentre la ecuación principal de la recta tangente a la gráfica definida por:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#fun«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#F«/mi»«/math»
la cual pasa por el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P«/mi»«/math».
#C1
Obs.: La ecuación principal de la recta es de la forma «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math»

]]> Solución:

Lo que buscamos es una recta de la forma:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math»

Además tenemos que saber el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que corresponde a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.


Así que primero calcularemos la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#fun«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», ya que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#fun«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math» evaluada en el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P«/mi»«/math» es la pendiente «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«/math» de la recta buscada.
Así:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#fun«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#fun«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F1«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Notación : «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#fun«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Ahora evaluamos el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P«/mi»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/math».

Así:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#p1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#pen«/mi»«/math»


Por lo tanto tenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#pen«/mi»«mi»#x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math»

Ahora faltaría encontrar «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» para tener la ecuación de la recta. Para esto, reemplazamos el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P«/mi»«/math» en la ecuación anterior.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#p2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#pen«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#p11«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#p2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#r3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»+«/mo»«mfenced»«mi»#r4«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#p2«/mi»«mi»#c2«/mi»«mi»#r4«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#r5«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»


Por lo tanto la ecuación de la recta que es tangente a la gráfica de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#fun«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#F«/mi»«/math» y que pasa por el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P«/mi»«/math» es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#pen«/mi»«mi»#x«/mi»«mi»#c3«/mi»«mi»#r5«/mi»«/math»

Gráficamente:
#C3









]]> 1 1 0 0 0 #sol1 Bien. Continúa de esa manera.]]> #sol Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»fun«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»g«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a10«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a2«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a3«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a8«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a3«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a3«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a2«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a9«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a3«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mfrac»«mi»a1«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a4«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§lt;«/mo»«mn»75«/mn»«mo»§and;«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mfrac»«mi»a5«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§lt;«/mo»«mn»75«/mn»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Funciones«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a3«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f3«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a5«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a6«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f4«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a7«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a8«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a9«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a10«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a3«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»f1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f5«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»50«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»R2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»{«/mo»«mi»f1«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»a4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f2«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»a4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f3«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a5«/mi»«mo»*«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a6«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f4«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a7«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a8«/mi»«mo»*«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a9«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f5«/mi»«mo»§rarr;«/mo»«mi»a5«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»p1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a3«/mi»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R2«/mi»«mo»(«/mo»«mi»F«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»p2«/mi»«/mfenced»«mo»§lt;«/mo»«mn»50«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Punto«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero1«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»150«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»150«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math 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