Derivadas/2 Implícita, regla de la cadena y recta tangente RA6 1.1 Determinar la derivada de f(g(x)) donde f es una potencia y g es trigonométrica, ln(x) o exp(x). Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/math».
Entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»
]]> Solución:

Podemos ver que la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/math» corresponde a la composición de las funciones «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#f1«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#g1«/mi»«/math».
Por lo tanto, definiendo «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f1«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#g1«/mi»«/math», podemos reescribir «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» de la siguiente forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»§#8728;«/mo»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»

Recordemos que si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» son dos funciones; entonces, la derivada de la compuesta «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»§#8728;«/mo»«mi»g«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math» -utilizando la regla de la cadena sobre la composición de dos funciones- está dada por la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» evaluada en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», multiplicada por la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», es decir:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»F«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»§#8728;«/mo»«mi»g«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Ahora, necesitamos determinar la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f1«/mi»«/math» evaluada en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#g1«/mi»«/math» .

Primero, la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» está dada por:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/math»

Luego, evaluando en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mi»#dfg«/mi»«/math».

Por otra parte, nos falta calcular la derivada de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«/math».

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#dg«/mi»«/math».

De lo anterior se tiene que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»F«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»§#8728;«/mo»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»#dfg«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#dg«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»F«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#F1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 0 0 #d Bien. Continúa de esa manera.

]]> #B Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»e«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»sen«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»cosec«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»cot«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»ln«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»exp«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mi»e«/mi»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»F«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»e«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»F2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»e«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»F2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»e«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»grado«/mi»«mo»(«/mo»«mi»p«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mrow»«mi»p«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»j«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»x«/mi»«/bvar»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df1«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»x«/mi»«/bvar»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»x«/mi»«/bvar»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dg«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»x«/mi»«/bvar»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dfg«/mi»«mo»=«/mo»«mi»df1«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»)«/mo»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»*«/mo»«mi»cotan«/mi»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cotan«/mi»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dg«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mi»cotan«/mi»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dfg«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cotan«/mi»«msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»editor=true&testFunctionName%5B1%5D=test&testFunction%5B46212%5D=1