Solución: Consideremos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» son funciones derivables; entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» también lo es y la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» está dada por:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (1)
Por otro lado, si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»son dos funciones (derivables) en la variable "«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math»"; entonces, la derivada del producto es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (2)
En nuestro caso y utilizando la propiedad (1), la derivada de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#f22«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» está dada por:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»+«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math» (3) (derivada de la función constante cero)
Determinemos entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»)«/mo»«/math» por separado.
Para ello, debemos tener en cuenta que la variable "«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math»" depende de la variable "«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math»"
y usando la propiedad (2) antes mencionada:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#d11«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#d12«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#d21«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#d22«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
Luego, según lo mencionado anteriormente y considerando la igualdad (3), obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d11«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#d21«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#d12«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#d22«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Finalmente, despejando:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«/math»
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