Derivadas/2 Implícita, regla de la cadena y recta tangente RA5 3.3 Implícita. Dada la función definida implícitamente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#f22«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»

Obs.: Ingresa las funciones trigonométricas de la siguiente manera:

- seno(x) se ingresa sen(x)

-coseno(x) se ingresa cos(x)

-tangente(x) se ingresa tan(x)

-cosecante(x) se ingresa cosec(x)

-secante(x) se ingresa sec(x)

-cotangente(x) se ingresa cot(x)

]]> Solución:

Consideremos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» son funciones derivables; entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» también lo es y la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» está dada por:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (1)
Por otro lado, si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»son dos funciones (derivables) en la variable "«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math»"; entonces, la derivada del producto es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (2)

En nuestro caso y utilizando la propiedad (1), la derivada de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#f22«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» está dada por:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»+«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math» (3) (derivada de la función constante cero)
Determinemos entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»)«/mo»«/math» por separado.
Para ello, debemos tener en cuenta que la variable "«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math»" depende de la variable "«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math»"
y usando la propiedad (2) antes mencionada:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#d11«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#d12«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#g22«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#d21«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#d22«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»


Luego, según lo mencionado anteriormente y considerando la igualdad (3), obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d11«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#d21«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#d12«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#d22«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Finalmente, despejando:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«/math»


]]> 1 1 0 0 0 #d Bien. Continúa de esa manera.]]> #B Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»ln«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»exp«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»cotan«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»cosec«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»ln«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»exp«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»cotan«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»cosec«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»ln«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»exp«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»cotan«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»cosec«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»f1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»f2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f2«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»f3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f3«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»f1«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»*«/mo»«mi»f1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mo»*«/mo»«mi»f2«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»f3«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d11«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»x«/mi»«/bvar»«mi»f«/mi»«/apply»«mo»*«/mo»«mi»f1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d12«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»y«/mi»«/bvar»«mi»f1«/mi»«/apply»«mo»*«/mo»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d21«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»x«/mi»«/bvar»«mi»g«/mi»«/apply»«mo»*«/mo»«mi»f2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mo»*«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»y«/mi»«/bvar»«mi»f2«/mi»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»y«/mi»«/bvar»«mi»h22«/mi»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d11«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d21«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d12«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d22«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»)«/mo»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»cotan«/mi»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math 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