Solución:
La función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#X«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#exr1«/mi»«/math», corresponde a un cuociente de funciones, por lo tanto, aplicaremos la regla de la derivada para el cuociente (división) de funciones:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
En nuestro caso, aplicando la regla:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr2«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr3«/mi»«/math»
Aplicando la derivada de una potencia y la derivada de una raíz:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#exr5«/mi»«/math»
Desarrollando las operaciones dentro del primer paréntesis:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr2«/mi»«mo»=«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr6«/mi»«/math»
Reescribiendo:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr2«/mi»«mo»=«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr7«/mi»«/math» =
Desarrollando el producto de las raices y utilizando las propiedades de potencias obtenemos:«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr2«/mi»«mo»=«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr8«/mi»«/math» Desarrollando el producto de los términos de los primeros dos paréntesis:«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr2«/mi»«mo»=«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr9«/mi»«/math» Aplicando el cambio de signo de los elementos del paréntesis:«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr2«/mi»«mo»=«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr10«/mi»«/math» Sumando términos semejantes obtenemos finalmente:«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr2«/mi»«mo»=«/mo»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#exr11«/mi»«/math»Por lo tanto,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#exr11«/mi»«/math»
Recuerda que no es la única forma de escribir el resultado. Si descompones la raíz del denominador, también la puedes escribir así:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#resp«/mi»«/math»
Pregunta abierta:
¿podrías calcular la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#X«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#exr1«/mi»«/math» sin aplicar la regla del cuociente?
|