FUNCIONES FUNCIONES 2.1.8 Características de la función cuadrática

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#x11«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mi»#x11«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»#x11«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math» cuyo gráfico es:

#graf

Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

]]> Solución:

En esta pregunta nos piden relacionar las características de la gráfica con los parámetros de la función cuadrática.

Los parámetros requeridos son «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math», «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/math», los cuales están relacionados específicamente con la concavidad, la intersección con el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» y con la intersección con el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math».

Concavidad: recordemos que la concavidad de una parábola está relacionada con el coeficiente (número) que multiplica a la variable al cuadrado («math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#x11«/mi»«/math»), es decir, con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math».

Específicamente, dada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math»:

Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» es positivo, entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava (se abre hacia arriba)

Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» es negativo, entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es convexa (se abre hacia abajo)

En este caso, como el gráfico muestra que la parábola se abre hacia #texto1, podemos concluir que #opa.

Intersección con el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math»: recordemos que la intersección con el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math»está relacionada con el coeficiente libre, es decir, con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math».
Específicamente, dada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math», el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la intersección entre «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» y el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math».
Como en este caso la intersección con el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» es el punto rojo que se marca en el siguiente gráfico:
#graf2

Cuya coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» es #texto4. Entonces, podemos concluir que #opc.

Intersección con el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math»: recordemos que el o los puntos de intersección de una función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» con el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math» depende de la solución de la ecuación «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math». En el caso de una función cuadrática de la forma «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math», la existencia y cantidad de soluciones dependen del discriminante, específicamente:
Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» la función intersecta en dos puntos al eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math».
Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» la función intersecta en un punto al eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math».

Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» la función no intersecta al eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math».
En este caso, podemos ver que la parábola #texto5, tal como lo muestra el gráfico:
#graf3
Entonces podemos inferir que #ope

]]> 1 1 0 1 falsetrue abc #opa ¡Muy bien, sigue así!

]]> #opb La parábola no es #texto3 ]]> #opc ¡Excelente! ]]> #opd La coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» del punto de intersección de f con el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» es #texto4
]]> #ope ¡Perfecto! ]]> #opf Observa que la parábola #texto5, por lo que no puede ser esta alternativa. ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»,«/mo»«mi»z«/mi»«mo»,«/mo»«mi»w«/mi»«mo»,«/mo»«mi»u«/mi»«mo»,«/mo»«mi»t«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f2«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»f1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»opa«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»opb«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»opa«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»opb«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»c1«/mi»«mo»§ges;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»opc«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§ges;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»opd«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»opc«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»opd«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§ges;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»§ges;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»ope«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§ges;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»opf«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»ope«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»opf«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§ges;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»texto1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»arriba«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»texto2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»positiva«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»texto3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»texto1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»abajo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»texto2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»negativa«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»texto3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»convexa«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»c1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»texto6«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»positivos«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»texto4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»positiva«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»texto4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cero«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»texto4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»negativa«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»texto6«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»negativos«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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