En primer lugar dejamos a un lado de la igualdad todas las expresiones que contengan la matriz incógnita X:
A·X - X = B - At
Sacamos factor común a la matriz X, teniendo en cuenta que para ello debemos utilizar la matriz unidad o identidad I = #I. Utilizamos esta matriz porque se verifica que I·X=X·I=X, es decir que su producto no cambia a la matriz X. De este modo podemos expresar:
A·X - I·X = B - At
Como ya tenemos a la matriz X multiplicada por la izquierda en ambos casos, podemos sacar factor común por la izquierda:
(A - I)X = B - At
Para despejar la X, sólo queda multiplicar por la inversa de (A - I), por la izquierda, en ambos miembros:
(A - I)-1(A - I)X = (A - I)-1(B - At)
Y podemos decir que: X = (A - I)-1(B - At)
El calculo de las matrices necesario para expresar X da como resultados:
At = #AT
B - At = #BAT
A - I = #AI
(A - I)-1= #AIIN
(A - I)-1(B - At) = #X
Y esa es la matriz X.
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