CÁLCULO/4. DERIVADAS/5 Aplicaciones maximizar material

Si se cuenta con #a cm2  de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.

obs: Indique el resultado en fraccion ireducible, ademas en su respuesta no indique la unidad cm3

]]>

Siendo, x el ancho e y el alto.

Primero debemos plantear la ecuación del área, que es:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/math»

(el área basal y las cuatro caras laterales de la caja)

luego el volumen (en función de x e y) es:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«mi»y«/mi»«/math» 

pero «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»  (esto a partir de la primera ecuación obtenida)

reemplazando y simplificando en la función del volumen, obtenemos una función que depende sólo de la variable x.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/math» (esta es la función que debemos maximizar)

Para maximizar la función debemos encontrar los puntos criticos y conocer si son maximos o minimos.

en este caso el punto critico es #c (comprobar).

Pero este valor es solamente la medida del lado que permite obtener un volumen maximo, en la pregunta se pide el volumen maximo, por lo que se debe evaluar #c en V(x), obteniendo #sol1


]]> 1.0000000 0.3333333 0 0 #sol1 ]]> <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>30</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><mn>3</mn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mi>a</mi><mn>3</mn></mfrac></msqrt></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol1</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi><mo>-</mo><msup><mi>c</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>4</mn></mfrac></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1083</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>19</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>6859</mn><mn>2</mn></mfrac></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session>]]></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer>#sol1</correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression"/><assertion name="equivalent_symbolic"/></assertions><options><option name="tolerance">10^(-3)</option><option name="relative_tolerance">true</option><option name="precision">4</option><option name="times_operator">·</option><option name="implicit_times_operator">false</option><option name="imaginary_unit">i</option></options><localData><data name="inputField">popupEditor</data><data name="gradeCompound">and</data><data name="gradeCompoundDistribution"></data><data name="casSession"></data></localData></question>