Si se cuenta con #a cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.
obs: Indique el resultado en fraccion ireducible, ademas en su respuesta no indique la unidad cm3
Siendo, x el ancho e y el alto.
Primero debemos plantear la ecuación del área, que es:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/math»
(el área basal y las cuatro caras laterales de la caja)
luego el volumen (en función de x e y) es:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«mi»y«/mi»«/math»
pero «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (esto a partir de la primera ecuación obtenida)
reemplazando y simplificando en la función del volumen, obtenemos una función que depende sólo de la variable x.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/math» (esta es la función que debemos maximizar)
Para maximizar la función debemos encontrar los puntos criticos y conocer si son maximos o minimos.
en este caso el punto critico es #c (comprobar).
Pero este valor es solamente la medida del lado que permite obtener un volumen maximo, en la pregunta se pide el volumen maximo, por lo que se debe evaluar #c en V(x), obteniendo #sol1