Solución:
Para resolver, debemos recordar lo siguiente:
Sea «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» una función 2 veces derivable en su dominio:
- Si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math», se tiene que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» es #c en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»
Por lo tanto, nuestra función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#fs«/mi»«/math» será #c si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»0
Para obtener «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math» utilizamos la regla de la derivada de cuociente (división) de funciones 2 veces:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f1s«/mi»«/math» y «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f2s«/mi»«/math», reemplazamos en nuestra fórmula:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#fs«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#f11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#f3s«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Por lo tanto,
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#f3s«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Nuevamente, aplicamos la regla de la derivada para la división de funciones y así obtenemos la segunda derivada; pero ahora «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f3s«/mi»«/math» y «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», entonces, reemplazamos en nuestra fórmula:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mi»#f3s«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#f3s«/mi»«/mfenced»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mi»#f3s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd1s«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2s«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»#fd2s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»(«/mo»«mi»#f3s«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Así:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Observa que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» siempre es mayor que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math», por lo tanto:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#fd22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
si:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#fd22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math»
Se recomienda que haga una tabla de valores para que analice cuando se cumple que:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math»
Esto sucederá cuando:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»
Finalmente, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#fs«/mi»«/math» es «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#c«/mi»«/math» cuando:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»
El siguiente paso es determinar los puntos de inflexión de nuestra función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#fs«/mi»«/math».
Recordemos que un punto de inflexión es un punto «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» de una función contínua donde se pasa de cóncava a convexa o viceversa.
Como ya determinamos dónde «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» era «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#c«/mi»«/math», entonces, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» será «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#e«/mi»«/math» en:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n11«/mi»«mi»#k11«/mi»«mi»#kkk«/mi»«mi»#k22«/mi»«mi»#n22«/mi»«mi»#n55«/mi»«mi»#n33«/mi»«mi»#k33«/mi»«mi»#kkk2«/mi»«mi»#k44«/mi»«mi»#n44«/mi»«/math»
Por lo tanto, según lo anterior, los puntos de inflexión son:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#ev2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#k«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#ev1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»#par0«/mi»«mi»#ll«/mi»«mi»#par3«/mi»«mi»#ev3«/mi»«mi»#par1«/mi»«/math»
Como podemos apreciar en la gráfica, la función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» es «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#c«/mi»«/math» en el tramo de color rojo y los puntos negros indican los puntos de inflexión.
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