Por lo tanto, nuestra función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» será «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math» si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
Para obtener «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» utilizamos la regla de la derivada del cuociente (división) de funciones:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f1«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f2«/mi»«/math», reemplazamos en nuestra fórmula:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#f«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#f11«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Por lo tanto,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Ahora, notemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» siempre es mayor que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
o sea,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
si:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#g1«/mi»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
Resolviendo la inecuación tenemos que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»
En consecuencia, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math» cuando:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»
Como podemos apreciar en la gráfica, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #c en el tramo de color rojo.
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