CÁLCULO/4. DERIVADAS/1 Algebra de derivadas RA5 2.3 Derivada de una suma de trigonométricas. Sea la función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#t1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#t2«/mi»«/math».

Entonces, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»

Obs.:

1. La función seno de x se ingresa: sen(x)

2. La función coseno de x se ingresa: cos(x)

3. La función tangente de x se ingresa: tan(x)

]]> Solución:

Para calcular la derivada de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#t1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#t2«/mi»«/math» , aplicaremos álgebra de derivadas. En particular, ocuparemos las siguientes propiedades:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»·«/mo»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»#w«/mi»«/mfenced»«mo»±«/mo»«mi»B«/mi»«mo»·«/mo»«mi»q«/mi»«mfenced»«mi»#w«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»#w«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»±«/mo»«mi»B«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»q«/mi»«mfenced»«mi»#w«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»
(1)

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»p«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»q«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»p«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mi»q«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mi»p«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»q«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»q«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math» (2)

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
(3)

Cálculo de la derivada de la Tangente.
Antes de abordar el problema del cálculo de la derivada de la suma de funciones trigonométricas, primero realizaremos el cálculo de la derivada de la función tangente.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/math»

/ Ocupando la identidad «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math» tenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/math»

/ Ocupando (2),tenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»

/ Ocupando la propiedad (3) enunciada al inicio de la resolución, tenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mo»-«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»

/ Desarrollando los productos del numerador:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»sen«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»

/ Separando en suma de dos fracciones:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/menclose»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/menclose»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»

/ Ocupando «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math», se obtiene finalmente:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Por lo tanto,

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» (4)

Cálculo de la derivada de la suma de funciones trigonométricas.
Abordaremos ahora el problema de la derivada de la suma de las funciones trigonométricas.
Ocupando la propiedad (1) obtenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#t1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#t2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mi»#n1«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#t1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#s1«/mi»«mi»#n2«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#t2«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Ocupando las propiedades (3) y (4) obtenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#t1«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#t2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mi»#n1«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#d1«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#s1«/mi»«mi»#n2«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mi»#w«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Por último, reduciendo términos nos queda:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mi»#sol«/mi»«/math»

Por lo tanto:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#sol«/mi»«/math»

]]> 1.0000000 1.0000000 0 0 #sol ¡Excelente!]]> #sol2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n2</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>n2</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>s1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>+</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mrow><mi>s1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mo>&quot;</mo></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n3</mi><mo>=</mo><mi>n2</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n2</mi><mo>=</mo><mfenced close="&verbar;" open="&verbar;"><mi>n2</mi></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>w</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>v</mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>g</mi><mo>,</mo><mi>h</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable><mtr><mtd><mi>t11</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mi>sen</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>t22</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>tan</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a11</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>a11</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t1</mi><mo>=</mo><mi>t11</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t2</mi><mo>=</mo><mi>t22</mi><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d1</mi><mo>=</mo><apply><diff/><bvar><mi>w</mi></bvar><mi>t1</mi></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi><mo>=</mo><apply><diff/><bvar><mi>w</mi></bvar><mrow><mo>(</mo><mi>n1</mi><mo>*</mo><mi>t1</mi><mo>+</mo><mi>n3</mi><mo>*</mo><mi>t2</mi><mo>)</mo></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>test</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>≠</mo><mi>sol</mi><mo>)</mo><mo>?</mo></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mfenced><mi>y</mi></mfenced></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>y</mi></mfenced></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><diff/><bvar><mi>w</mi></bvar><mi>t1</mi></apply></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mi>sen</mi><mfenced><mi>y</mi></mfenced></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mfenced><mi>y</mi></mfenced></math></output></command></group></session></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer type="mathml"> #sol </correctAnswer><correctAnswer type="mathml"> #sol2 </correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression" correctAnswer="0"/><assertion name="syntax_expression" correctAnswer="1"/><assertion name="equivalent_function" correctAnswer="1"><param name="name">test</param></assertion></assertions><localData><data name="inputField">inlineEditor</data><data name="inputCompound">false</data><data name="cas">false</data></localData></question>

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/math»	/ Ocupando la identidad «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math» tenemos:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/math»	/ Ocupando (2),tenemos:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»	/ Ocupando la propiedad (3) enunciada al inicio de la resolución, tenemos:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mo»-«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»	/ Desarrollando los productos del numerador:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»sen«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»	/ Separando en suma de dos fracciones:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/menclose»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/menclose»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»	/ Ocupando «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math», se obtiene finalmente:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Por lo tanto,	«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»#w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» (4)