«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»T«/mi»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»A«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T0«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T0«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T3«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego, la función queda de la siguiente forma:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»T«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Para calcular el valor de la constante «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»k«/mi»«/math», utilizamos el otro dato proporcionado por el problema. La cerveza se calienta hasta «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T2«/mi»«mo»°«/mo»«mi»C«/mi»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#M1«/mi»«/math» minutos, es decir, cuando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#M1«/mi»«/math»; entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#M1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#T2«/mi»«/math».
Reemplazando nuevamente en la ecuación (1), tenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»T«/mi»«mfenced»«mi»#M1«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#M1«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#M1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#M1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T2«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#M1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T2«/mi»«/mrow»«mi»#T3«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#M1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant="normal"»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T2«/mi»«/mrow»«mi»#T3«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#K2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Así, la función de temperatura es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»
Ahora, calcularemos la rapidez instantánea de cambio que corresponde a la derivada de la temperatura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«/math» con respecto al tiempo «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math», «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math». Así, por regla de la cadena tenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T3«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Esta última expresión corresponde a la rapidez instantánea de temperatura para cualquier «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«msubsup»«mi mathvariant="normal"»§#8477;«/mi»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msubsup»«/math».
Este problema pide buscar cuándo la rapidez es la mitad de la máxima rapidez instantánea, por lo tanto, primero debemos calcular la rapidez instantánea máxima y luego buscar el instante en que ocurre dicha situación.
Para determinar dónde la rapidez instantánea es máxima, debemos volver a derivar; puesto que el criterio de la primera derivada da existencia de posibles máximos o mínimos de una función.
Derivando la rapidez instantánea de temperatura, obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#T5«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Al ser la derivada de la rapidez instantánea de temperatura siempre negativa, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8704;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«msubsup»«mi mathvariant="normal"»§#8477;«/mi»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msubsup»«/math» , tenemos que esta es decreciente en todo su dominio. Luego, su máximo se halla en el valor más pequeño (ínfimo) del dominio y este valor es cuando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Reemplazando en (2), la rapidez instantánea de temperatura, se tiene:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»·«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego, la máxima rapidez instantánea de temperatura de la cerveza es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T4«/mi»«/math». Así, la mitad es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T6«/mi»«/math» y para calcular el tiempo en que alcanza la mitad de la máxima rapidez reemplazamos en (2), obteniendo:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T6«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T7«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant="normal"»ln«/mi»«mfenced»«mi»#T7«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#sol«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, el tiempo en que la rapidez instantánea de la temperatura de la cerveza es la mitad de la máxima, es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».
Preguntas Abiertas:
-
¿Qué ocurre cuando el tiempo es suficientemente grande?.
-
¿Es posible que la cerveza alcance los «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T13«/mi»«mo»°«/mo»«mi»C«/mi»«/math»?. Explique su razonamiento.