Observa la figura.
Sean r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura.
Recordemos que el volumen «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«/math» de un tronco de cono está dado por la expresión:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«/math»
Sabiendo que el incremento de r es de #r cm / año, el incremento de R
es de #R cm / año y el de h de #h cm / año.
¿Cuál es la rapidez de variación del volumen «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«/math» en el momento en que: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/math» y «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/math»
? (en metros cúbicos por año)
Recordemos que cuando nos piden determinar la variación de algo en un momento específico, debemos determinar una derivada con respecto al tiempo.
Entonces, debemos determinar la derivada del volumen del tronco con respecto al tiempo, es decir:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (con "t" en años)
Pero si observamos la fórmula del volumen, a simple vista esta no depende del tiempo. Sin embargo, la altura, el radio inferior y el radio superior del tronco, dependen del tiempo de vida que haya tenido el árbol.
En otras palabras R, r, h son funciones de t.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«/math»
Observación: Seguiremos utilizando
en vez de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»R«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»)«/mo»«/math» pero ten claro que
(función volumen) es una función que depende de R, r y h.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»
Por lo tanto:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»s«/mi»«mi mathvariant="normal"»tan«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" 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close="]" open="["»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»u«/mi»«mi»m«/mi»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»R«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mover»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#65079;«/mo»«/mover»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»R«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced 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Luego, como sabemos
que el incremento de r es de #r cm / año, el incremento de R
es de #R cm / año y el de h de #h cm / año, podemos inferir que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#R«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»a«/mi»«mi»ñ«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»·«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»a«/mi»«mi»ñ«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»a«/mi»«mi»ñ«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Ahora, reemplazando estos valores en
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#R«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Esta es la función que nos muestra la variación del volumen del árbol.
Para responder a nuestra pregunta,
¿Cuál es la rapidez de variación del volumen
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»
en el momento en que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/math»
?,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/math»
¡Ojo con la unidad de medida! #w m equivale a #h1 cm.
Entonces, reemplazamos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»#R1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#r1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#R«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#r1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#R1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#r1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#j1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#j2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#j3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#j4«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#j5«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#j6«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#j7«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»#j8«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#j9«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como hemos trabajado los valores con centímetros cúbicos vamos a cambiar la unidad a metros cúbicos.
Recuerda que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mn»1«/mn»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mn»1«/mn»«mi»m«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mn»100«/mn»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mn»100«/mn»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»i«/mi»«mi»v«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»m«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, para transformar de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» debemos dividir por «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»#j9«/mi»«/mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#rc«/mi»«/math»
En efecto, la rapidez de variación del volumen
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»
en el momento en que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/math»
es de #rc «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»/«/mo»«mi»a«/mi»«mi»ñ«/mi»«mi»o«/mi»«/math»
Al parecer olvidaste cambiar la unidad de medida.
Revisa el desarrollo para identifcar tus errores. ¡Tú puedes!
]]>Al parecer calculaste el volumen del tronco con los datos dados.
Intenta utilizar los conceptos de variación y cambio.
]]>Al parecer calculaste el volumen del tronco con los datos dados
Intenta utilizar los conceptos de variación y cambio.
]]>