8. Progresiones Gráfico.Hexágono irregular con medida de ángulos interiores en progresión aritmética El menor de los ángulos interiores del hexágono representado en el plano cartesiano, mide #f1 °. La medida de los ángulos interiores restantes, a partir de él, se encuentran en progresión aritmética. A continuación se presenta una modelación gráfica en el plano cartesiano del mismo.

#graf

Determina el valor de cada uno de las medidas de los ángulos, a partir del ángulo menor y los cuales corresponden a los términos de la progresión aritmética.

]]>

Para determinar la solución de este problema, lo primero que debemos considerar es que, la suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}={n(a_{1}+a_{n}) \over 2}\,

«math style=¨font-family:Arial¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtext»=S«/mtext»«/math»

donde a 1 {\displaystyle a_{1}} $a_1$ es el primer término, a n {\displaystyle a_{n}} $a_{n}$ es el último y Σ {\displaystyle \Sigma } $\Sigma$ es la notación de sumatorio.

En la situación planteada, se tiene:

el menor de los ángulos interiores del hexágono representado en el plano cartesiano, mide #f °, es decir, «math style=¨font-family:Arial¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mtext»a«/mtext»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»f«/mi»«/math»
la medida de los ángulos interiores restantes, a partir de él, se encuentran en progresión aritmética.
un hexágono tiene 6 lados, es decir, n= 6.
y la suma total de la medida de sus ángulos interiores es igual a 720°, es decir, «math style=¨font-family:Arial¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtext»S=720§#176;«/mtext»«/math»

Para dar solución al problema, lo primero que debemos hacer es determinar el valor de d, el cual se obtiene a partir de:

«math style=¨font-family:Arial¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtext»d=«/mtext»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»720«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»n«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math style=¨font-family:Arial¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtext»d=#d«/mtext»«/math»

además cada uno de los términos de la progresión serán igual a: «math style=¨font-family:Arial¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mtext»a«/mtext»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mtext»=a«/mtext»«mn»1«/mn»«/msub»«mtext»+§#160;d«/mtext»«/math»; «math style=¨font-family:Arial¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mtext»a«/mtext»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«/math»; y así sucesivamente.

]]> 1 .3333333 0 0 a1=#f1a2 =#f2a3=#f3a4=#f4a5=#f5a6=#f6]]> ¡Muy bien!

]]> * Al parecer cometiste un error, revisa tu desarrollo y consulta a tu profesor si aún te quedan dudas.

]]> <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>30</mn><mo>,</mo><mn>45</mn><mo>,</mo><mn>60</mn><mo>,</mo><mn>90</mn><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable><mtr><mtd><mi>p1</mi><mo>=</mo><mo> </mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mn>16</mn><mo>,</mo><mn>16</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>atributos</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>p1</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>mostra_ejes</mi><mo>=</mo><mi>falso</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>mostrar_cubo</mi><mo>=</mo><mi>falso</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>anchura_ventana</mi><mo>(</mo><mn>350</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>altura_ventana</mi><mo>(</mo><mn>450</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>30</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>a1</mi><mo>=</mo><mn>30</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>Q</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>R</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>25</mn><mo>,</mo><mn>6</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>S</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>T</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>U</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>pol</mi><mo>=</mo><mi>poligonal</mi><mfenced><mrow><mi>P</mi><mo>,</mo><mi>Q</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo>,</mo><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>U</mi><mo>,</mo><mi>P</mi></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>p1</mi><mo>,</mo><mi>pol</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>,</mo><mi>llenar</mi><mo>=</mo><mi>falso</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura_linea</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>45</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>a1</mi><mo>=</mo><mn>45</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>Q</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>R</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>S</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>T</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>U</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>pol</mi><mo>=</mo><mi>poligonal</mi><mfenced><mrow><mi>P</mi><mo>,</mo><mi>Q</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo>,</mo><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>U</mi><mo>,</mo><mi>P</mi></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>p1</mi><mo>,</mo><mi>pol</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>verde</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>llenar</mi><mo>=</mo><mi>falso</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura_linea</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>90</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>a1</mi><mo>=</mo><mn>90</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>Q</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>R</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>S</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>T</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>U</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>pol</mi><mo>=</mo><mi>poligonal</mi><mfenced><mrow><mi>P</mi><mo>,</mo><mi>Q</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo>,</mo><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>U</mi><mo>,</mo><mi>P</mi></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mo> </mo><mi>p1</mi><mo>,</mo><mi>pol</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>negro</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>llenar</mi><mo>=</mo><mi>falso</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura_linea</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>a1</mi><mo>=</mo><mn>60</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>Q</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>R</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>S</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>T</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>U</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>pol</mi><mo>=</mo><mi>poligonal</mi><mfenced><mrow><mi>P</mi><mo>,</mo><mi>Q</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo>,</mo><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>U</mi><mo>,</mo><mi>P</mi></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>p1</mi><mo>,</mo><mi>pol</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>azul</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>llenar</mi><mo>=</mo><mo> </mo><mi>falso</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura_linea</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></apply></apply></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>720</mn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>240</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>a1</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mn>5</mn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>an</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>a1</mi><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a2</mi><mo>=</mo><mi>a1</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a3</mi><mo>=</mo><mi>a2</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a4</mi><mo>=</mo><mi>a3</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a5</mi><mo>=</mo><mi>a4</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a6</mi><mo>=</mo><mi>a5</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q</mi><mo>=</mo><mi>progresion</mi><mo>(</mo><mi>a1</mi><mo>,</mo><mi>a2</mi><mo>,</mo><mi>a3</mi><mo>,</mo><mi>a4</mi><mo>,</mo><mi>a5</mi><mo>,</mo><mi>a6</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math 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