5. Función exponencial y logarítmica Exp C2S10 Imagen y premimagen (Algebraico) Ganancia anual La ganancia anual «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» de una compañía debido las ventas de cierto artículo después de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» años de haber sido lanzada al mercado está dada por la función:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mi»t«/mi»«/msup»«/math»

a) ¿Cuál es la ganancia después de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»t«/mi»«/math» años?

b) ¿Cuántos años lleva el producto en el mercado si tiene una ganancia de #d pesos?

Observaciones:

- Utiliza el punto como separador en los decimales, en lugar de la coma.

- Anota el resultado con tres decimales.

]]> La ganancia anual «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» de una compañía debido las ventas de cierto artículo después de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» años de haber sido lanzada al mercado esta dada por la función:

Después de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»t«/mi»«/math» años se tiene una ganancia igual a:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«/math»

Para determinar cuantos años lleva el producto en el mercado se debe despejar «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math», y luego remplazar el valor de la ganancia «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mi»t«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mi»t«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mi»P«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mi»t«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Si aplicamos logaritmo en base «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«/math» en ambos lados de la igualdad, se tiene que:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfenced»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mi»t«/mi»«/msup»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»log«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»log«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»log«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»log«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»l«/mi»«mi»o«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Finalmente remplazando el valor de la ganancia se tiene que:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»log«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»l«/mi»«mi»o«/mi»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mn»2«/mn»«/math»

]]> 1 .3333333 0 0 P=#solt=#sol2]]> ¡¡Muy Bien!!

]]> - Al parecer cometiste un error, revisa tu desarrollo y consulta a tu profesor si aún te quedan dudas

]]> - Sugerencias hechas por B.Lizama. Sede Curicó. 28/06/2016

- Agregar mensaje de revisión cuando la respuesta al problema sea incorrecta. "Al parecer cometiste un error, revisa tus procedimientos". Los mismo para cuando la respuesta sea correcta: "Muy bien, felicitaciones".-

- Revisar los intervalos de cada variable, ya que en una iteración se produce un valor de t negativo. Seguramente no se deberían obtener resultados negativos al calcular el tiempo.-

- Centrar la última parte de la ecuación de cálculo del tiempo t.

- Quizás se podría presentar la situación en dos preguntas diferentes, una en dónde se calcule la ganancia y la otra el tiempo.-

- Se corrigen algunos errores de tipografía en el enunciado y retroalimentación.

]]> <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>[</mo><mn>100000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>250000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>10000</mn><mo>]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>[</mo><mn>10000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>50000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1000</mn><mo>]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>[</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>10</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>d</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>[</mo><mn>10000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>99000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1000</mn><mo>]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>[</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>20</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>e</mi><mo>=</mo><msup><mi>c</mi><mi>t</mi></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>=</mo><mi>b</mi><mo>*</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>e</mi></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>sol</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>f</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>sol1</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>log</mi><mfenced><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>d</mi></mrow><mi>b</mi></mfrac></mfenced></mrow><mrow><mi>log</mi><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mi>c</mi></mfrac></mfenced></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable><mrow><mi>f</mi><mo>∈</mo><integers/><mo>∧</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mo><</mo><mi>b</mi></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol2</mi><mo>=</mo><mi>a_decimal</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>redondear</mi><mo>(</mo><mi>sol1</mi><mo>*</mo><mn>1000</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mn>1000</mn><mo>)</mo><mo>)</mo></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>100000</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>11000</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>125</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>88</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>99912</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.80729</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol2</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.807</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session>]]></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer type="mathml"><![CDATA[<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo>=</mo><mo>#</mo><mi>s</mi><mi>o</mi><mi>l</mi><mspace linebreak="newline"/><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>#</mo><mi>s</mi><mi>o</mi><mi>l</mi><mn>2</mn></math>]]></correctAnswer><correctAnswer id="1">-</correctAnswer><correctAnswer id="2">-</correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression"/><assertion name="equivalent_symbolic"/></assertions><options><option name="tolerance">10^(-3)</option><option name="relative_tolerance">true</option><option name="precision">4</option><option name="times_operator">·</option><option name="implicit_times_operator">true</option><option name="imaginary_unit">i</option></options><localData><data name="inputField">popupEditor</data><data name="gradeCompound">distribute</data><data name="gradeCompoundDistribution"></data><data name="casSession"/><data name="inputCompound">true</data></localData></question>