5. Función exponencial y logarítmica Exp C2S08 Imagen y preimagen (algebraico) Propagación de un virus El número de personas «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math» contagiadas por un virus, de una población «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»P«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» habitantes se modela mediante la siguiente función:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»P«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Donde «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» esta en días

a) ¿Cuántas personas estarán infectadas después de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/math» días si la población es de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/math» habitantes?

b) ¿En cuánto tiempo estará infectada «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» de la población inicial?

Observaciones:

- Utiliza el punto como separador en los decimales, en lugar de la coma.

- Anota el resultado con tres decimales.

]]> El número de personas «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math» contagiadas por un virus, de una población «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»P«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» habitantes se modela mediante la siguiente función:

Para determinar el número de personas que estarán infectadas despues de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/math», si la población es de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/math» habitantes, se deben remplazar estos valores en la la función que modela la situación, donde se tiene que:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math» representa el número de la población que esta infectada en un determinado tiempo, donde se sabe que corresponde a los «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» de la población inicial que equivale a «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/math» habitantes, esto es:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«/math»

Para determinar en cuanto tiempo estarán infectados «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» de la población inicial, se remplazan los valores en la función que modela la situación y se despeja el parámetro t, de la siguientes manera:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mn»1«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mn»3«/mn»«/math»

Aplicando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad, se tiene que:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mo»(«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»P«/mi»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»t«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

]]> 1 .3333333 0 0 N(p)=#solt=#t]]> ¡¡Muy Bien!!

]]> - Al parecer cometiste un error, revisa tu desarrollo y consulta a tu profesor si aún te quedan dudas

]]> - Realizado por Nenad Yukich Lorén - Curicó - 28 de junio de 2016

Estimada Fátima: sugiero revisar los siguientes puntos:

PENDIENTE: Observación 1: La pregunta Nº1 pide "Cuántas personas", la Nº 2 "Cuánto tiempo". Si embargo, la casilla de respuesta pide Nº de infectados para la segunda pregunta.

PENDIENTE: Observación 2: Se podría indicar cantidad de decimales a colocar en las respuestas

PENDIENTE: Observación 3: En la pregunta inicial debiese decir "Observación" y no "Observaciones" ya que es solo una

PENDIENTE: Observación 4: La cantidad de personas debiese escribirse como número entero

PENDIENTE: Observación 5: Se pregunta por tiempo, pero la respuesta Nº2 aparece como cantidad de infectados

PENDIENTE: Observación 6: Las retroalimentaciones deben comenzar con "Muy bien" o "Al parecer cometiste un error"

]]> <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>[</mo><mn>5</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>15</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>[</mo><mn>1000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>15000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1000</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>d</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>[</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>01</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>01</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>[</mo><mn>40000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>50000</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1000</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>N</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>g</mi><mo>*</mo><msup><exponentiale/><mrow><mi>d</mi><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>sol</mi><mo>=</mo><mi>a_decimal</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>redondear</mi><mo>(</mo><mi>N</mi><mo>*</mo><mn>1000</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mn>1000</mn><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>e</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>[</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>5</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>[</mo><mn>6</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>10</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>]</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mo>*</mo><mi>a</mi></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>s2</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>g</mi><mo>*</mo><msup><exponentiale/><mrow><mi>d</mi><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>P</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac><mo>*</mo><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P1</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mi>P</mi></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P2</mi><mo>=</mo><mi>P1</mi><mo>-</mo><mi>c</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P3</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>P2</mi><mi>g</mi></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>P4</mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>P3</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P5</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>P4</mi><mi>d</mi></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>a_decimal</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>redondear</mi><mo>(</mo><mi>P5</mi><mo>*</mo><mn>1000</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mn>1000</mn><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mrow><mn>15</mn><mo>⩽</mo><mi>sol</mi><mo>⩽</mo><mn>90000</mn></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>N</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>N</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P1</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P2</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P2</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P3</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P3</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P4</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P4</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P5</mi></math></input><output><math 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