Complements/C7 Sequences and Series of Functions
SSF.A
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» the periodic extension of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#f«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» the periodic extension of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#g«/mi»«/math» , for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»§#960;«/mi»«mo»,«/mo»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»]]>
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»C«/mi»«mn»0«/mn»«/msup»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#8477;«/mi»«/math»
]]>
1.0000000
0.1000000
0
false
false
abc
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»C«/mi»«mn»0«/mn»«/msup»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«/math» in «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#8477;«/mi»«/math». The function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«/math» is piecewise «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
The equality «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#f«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#g«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«munder»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»nx«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»nx«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/math» holds for any «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»§#960;«/mi»«mo»,«/mo»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«munder»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»nx«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»nx«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»§#960;«/mi»«mo»,«/mo»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
]]>
Uniform convergence can be assured for both «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»SFT«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»SFT«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g«/mi»«mo»)«/mo»«/math», since the Dirichlet criteria applies and the functions are continuous
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»SFT«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/math»]]>
The result «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mn»32«/mn»«/mfrac»«/math» can only be proved using «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»SFT«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mn»32«/mn»«/mfrac»«/math»]]>
Employing the Parseval identity, it can be proved that «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»#yn«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#sol«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»#yn«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#sol«/mi»«/math»]]>
<question><wirisCasSession><session lang="ca" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo><msup><pi/><mn>2</mn></msup><mo>·</mo><mi>x</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>g</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>yn</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mi>n</mi><mn>6</mn></msup></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><pi/><mn>4</mn></msup><mn>90</mn></mfrac><mo>-</mo><mfrac><msup><pi/><mn>6</mn></msup><mn>940</mn></mfrac></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><pi/><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><mi>x</mi></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>yn</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mi>n</mi><mn>6</mn></msup></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mfrac><msup><pi/><mn>6</mn></msup><mn>945</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><pi/><mn>4</mn></msup><mn>90</mn></mfrac></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question>