Complements/C1 Metric spaces. Topology MST.1 distance

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo largeop=¨true¨»(«/mo»«/math»The functions are given in «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»§#8477;«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/math», being «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»,«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»,«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mo largeop=¨true¨»)«/mo»«/math»
]]> 1.0000000 0.1000000 0 false true abc «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»]]> «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»]]> «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math»]]> «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math»]]> «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«munder»«mi»max«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#10877;«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#10877;«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/munder»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«munder»«mi»max«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#10877;«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#10877;«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/munder»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math»]]> «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«munder»«mo largeop=¨true¨»min«/mo»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#10877;«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#10877;«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/munder»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«munder»«mi»min«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#10877;«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#10877;«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/munder»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math»]]> «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math», being d' a distance in a metric space X and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow/»«/mfenced»«/math» the superior integer part «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="]" open="["»«mrow/»«/mfenced»«/math»
]]> «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨¨ open=¨{¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»if«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»if«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»d«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced close="" open="{"»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»if«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»if«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»]]> <question><wirisCasSession>&lt;session lang=&quot;ca&quot; version=&quot;2.0&quot;&gt;&lt;library closed=&quot;false&quot;&gt;&lt;mtext style=&quot;color:#ffc800&quot; xml:lang=&quot;es&quot;&gt;variables&lt;/mtext&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;d1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mrow&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;msup&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;d2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;msup&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;d3&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;mfenced close=&quot;&amp;verbar;&quot; open=&quot;&amp;verbar;&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;d4&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced close=&quot;&amp;verbar;&quot; open=&quot;&amp;verbar;&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;d5&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced close=&quot;&amp;verbar;&quot; open=&quot;&amp;verbar;&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;/&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;/group&gt;&lt;/library&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;/&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;/group&gt;&lt;/session&gt;</wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question>