Banc de preguntes Matemàtiques 2/Algebra i geometria lineal 09 Canvi de base (R16) Donat l'espai vectorial «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mo»§#8477;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» i «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»{«/mo»«msub»«mi»e«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»e«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»}«/mo»«/math» una base. Es consideren els vectors

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»u«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»*«/mo»«msub»«mi»e«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»*«/mo»«msub»«mi»e«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»*«/mo»«msub»«mi»e«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»*«/mo»«msub»«mi»e«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Comproveu que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»{«/mo»«msub»«mi»u«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»}«/mo»«/math» formen una base de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mo»§#8477;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» i calculeu les components del vector «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#v1«/mi»«mo»·«/mo»«msub»«mi»e«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mi»#v2«/mi»«mo»·«/mo»«msub»«mi»e«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/math» en la base «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»{«/mo»«msub»«mi»u«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»}«/mo»«/math».


Nota: si les components en la nova base són 1,2 escriviu com a solució {1,2}.



]]> 1.0000000 0.1000000 0 0 #sol <question><wirisCasSession>&lt;session lang=&quot;en&quot; version=&quot;2.0&quot;&gt;&lt;library closed=&quot;false&quot;&gt;&lt;mtext style=&quot;color:#ffc800&quot; xml:lang=&quot;es&quot;&gt;variables&lt;/mtext&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;msup&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;v1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;v2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;a1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;a2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;b1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;b2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;/&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;solve&lt;/mi&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;a1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;α&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;β&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;b1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;α&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;b2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;β&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;sol&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;α&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;β&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;}&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;relative_tolerance&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;false&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;tolerance&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;/group&gt;&lt;/library&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;msup&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;v1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;v2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;/&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;a1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;a2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;b1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;b2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;/&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;solve&lt;/mi&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;a1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;α&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;β&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;b1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;α&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;b2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;β&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;/&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;/group&gt;&lt;group&gt;&lt;maction actiontype=&quot;comment&quot;&gt;&lt;comment&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;Comprovació&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;amb&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;l&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;apos;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;exemple&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;de&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;R15&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt;&lt;/comment&gt;&lt;/maction&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;map;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;..&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;msup&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfenced close=&quot;]&quot; open=&quot;[&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;a1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;a2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;b1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;b2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;/&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;solve&lt;/mi&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;a1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;α&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;β&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;b1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;α&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;b2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;β&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable 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