Banc de preguntes Matemàtiques 1/Preliminars/Nombres complexos 07. Producte en forma polar Considereu els nombres complexos «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»#phi1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«/msup»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»#phi2«/mi»«mo»·«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«/msup»«/math».

Calculeu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»·«/mo»«msub»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/math» en forma exponencial.

Notes:
1. L'angle és en radians.
]]> Recordar que per multiplicar dos nombres complexos «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»re«/mi»«mi»§#952;i«/mi»«/msup»«/math» i «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»§#961;e«/mi»«mi»§#966;i«/mi»«/msup»«/math» es multipliquen els mòduls i se sumen els angles, és a dir,
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»·«/mo»«msub»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»re«/mi»«mi»§#952;i«/mi»«/msup»«mo»·«/mo»«msup»«mi»§#961;e«/mi»«mi»§#966;i«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mi»§#961;«/mi»«mo»)«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»§#952;«/mi»«mo»+«/mo»«mi»§#966;«/mi»«mo»)«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«/msup»«/math».
]]> 1.0000000 0.1000000 0 0 #formapolar <question><wirisCasSession>&lt;session lang=&quot;en&quot; version=&quot;2.0&quot;&gt;&lt;library closed=&quot;false&quot;&gt;&lt;mtext style=&quot;color:#ffc800&quot; xml:lang=&quot;es&quot;&gt;variables&lt;/mtext&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;8&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;8&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;csymbol definitionURL=&quot;http://.../units/radian&quot;&gt;rad&lt;/csymbol&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;formapolar1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;exponentiale/&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;csymbol definitionURL=&quot;http://.../units/radian&quot;&gt;rad&lt;/csymbol&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;formapolar2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;exponentiale/&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;formapolar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;exponentiale/&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;relative_tolerance&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;false&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;tolerance&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;/group&gt;&lt;/library&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;8&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;7&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;pi/&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;8&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;csymbol definitionURL=&quot;http://.../units/radian&quot;&gt;rad&lt;/csymbol&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;7&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;csymbol definitionURL=&quot;http://.../units/radian&quot;&gt;rad&lt;/csymbol&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;14&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;pi/&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;formapolar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;14&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;pi/&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;/group&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;8&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;csymbol definitionURL=&quot;http://.../units/radian&quot;&gt;rad&lt;/csymbol&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;real_part&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;imaginary_part&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;point&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;plot&lt;/mi&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;color&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;blue&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;point_size&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;}&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;plotter1&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;plot&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;circumference&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;point&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;color&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;green&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;}&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;plotter1&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;bin&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced close=&quot;]&quot; open=&quot;[&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfenced close=&quot;]&quot; open=&quot;[&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;/group&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;pi/&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;8&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;csymbol definitionURL=&quot;http://.../units/radian&quot;&gt;rad&lt;/csymbol&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;real_part&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;imaginary_part&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;z&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;point&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;plot&lt;/mi&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;color&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;blue&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;point_size&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;}&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;plot&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;circumference&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;point&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;color&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;green&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;}&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;bin&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced close=&quot;]&quot; open=&quot;[&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfenced close=&quot;]&quot; open=&quot;[&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;pi/&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;L2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfenced close=&quot;}&quot; open=&quot;{&quot;&gt;&lt;mtable align=&quot;center&quot;&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;pi/&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;formapolar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;phi&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;pi/&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;/group&gt;&lt;group&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;random&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;5&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phi1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;5&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;pi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;r1&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;8&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;phib&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phia&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math 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xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;z2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;polar&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt; &lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;csymbol definitionURL=&quot;http://.../units/radian&quot;&gt;rad&lt;/csymbol&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mn&gt;7&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt;&lt;/output&gt;&lt;/command&gt;&lt;command&gt;&lt;input&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;mi&gt;formapolar2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;exponentiale/&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;phi2&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;*&lt;/mo&gt;&lt;imaginaryi/&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt;&lt;/input&gt;&lt;output&gt;&lt;math 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