Els costats mesuren: a=#a, b = #b, d = #d i f = #f
 |
Calcula:
a) la proporció (raó de semblança) entre el triangle gran i el petit.
b) c
c) e
]]>
Teorema de Pitàgores
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»c«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#007F00¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Recorda de posar TOT el radicand entre parèntesis a la calculadora... I SIMPLIFICA
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#000066¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mstyle»«/math»
i simplifiquem el resultat.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»c«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#000066¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mstyle»«/math»
i simplifiquem el resultat.
]]>|
Raons trigonomètriques |
|
|
|
sin B = b/a (oposat/hipotenusa) cos B = c/a (adjacent/hipotenusa) tg B = b/c (oposat/adjacent) |
| Signe de les raons trigonomètriques |
π = 180º
]]>
π = 180º
]]>
π = 180º
]]>sin (180º-a) = sin a
cos(180º - a) = - cos a
tg (180º - a) = - tg a
sin(180º + a) = -sin a
cos(180º + a) = -cosa
tg(180º +a) = tg a
sin(-a) = - sina
cos(-a) = cos a
tg(-a) = - tg a
a) #a º
b) #b º
c) #c º
Format: sense unitats
Després aplica:
180º - a pel 2n quadrant
180º + a pel 3r quadrant
360º - a pel quart quadrant
]]>
a) #a º
b) #b º
c) #c º
Format: sense unitats
Després aplica:
180º - a pel 2n quadrant
180º + a pel 3r quadrant
360º - a pel quart quadrant
]]>
a) #a º
b) #b º
c) #c º
Format: sense unitats
Després aplica:
180º - a pel 2n quadrant
180º + a pel 3r quadrant
360º - a pel quart quadrant
]]>Expresseu les raons trigonomètriques dels angles en funció de les d'angles del 1r quadrant (en valor absolut):
|sin #a º| = |sin {#1} º|
|cos #b º| = |cos {#2} º|
|tg #c º| = |tg {#3} º|
| Relació fonamental |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«/math» |
|
Se'n dedueix que: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»sin§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#177;«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«/msqrt»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»cos§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#177;«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» Calculadora: si cosα = 0,5 cal escriure: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msqrt/»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/math» |
|
Es recorda que: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»tg§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»sin§#945;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»cos§#945;«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
Un cop trobat el cosinus, es recorda que tgx = sinx/cosx
]]>Si es divideix la 1a equació per sin2x:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»tg«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»sinx«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#177;«/mo»«msqrt mathcolor=¨#00007F¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»tg«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»tg«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>si es substitueix sinx per tga·cosa:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»tg«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8660;«/mo»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»tg«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8660;«/mo»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»tg«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
sin (90º-a) = cos a
cos(90º - a) = sin a
tg (90º - a) = 1/tg a
sin (180º-a) = sin a
cos(180º - a) = - cos a
tg (180º - a) = - tg a
| Relació fonamental |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«/math» |
|
Se'n dedueix que: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»sin§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#177;«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«/msqrt»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»cos§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#177;«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» Calculadora: si cosα = 0,5 cal escriure: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msqrt/»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/math» |
|
Es recorda que: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»tg§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»sin§#945;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»cos§#945;«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
a) tg a
b) sin(2a)
Es recorda la fórmula: sin (2a) = 2·sina·cosa
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#177;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#8201;«/mo»«msqrt mathcolor=¨#000066¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/msqrt»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»tg«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»sina«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»cosa«/mi»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»
i fixar-se en el quadrant per determinar els signes.
]]>i pensant que cos(a-b) = cos [a+(-b)]
Determineu l'expressió de:
cos(a-b) = cos{#1}·cos{#2} {#3}sin{#4}·sin{#5}
Format: pel signe, escriu (amb lletres): més o menys
]]>i pensant que sin(a+b) = cos [90º-(a+b)]
Determineu l'expressió de:
sin(a+b) = sin{#1}·cos{#2} {#3}cos{#4}·sin{#5}
Format: pel signe, escriu (amb lletres): més o menys
]]>i pensant que sin(a-b) = sin [a+(-b)]
Determineu l'expressió de:
sin(a-b) = sin{#1}·cos{#2} {#3}cos{#4}·sin{#5}
Format: pel signe, escriu (amb lletres): més o menys
]]>Es resolen fàcilment,
sina = sin(180º-a) = sin(π -a)
cosa = cos (-a)
tga = tg(180º+a) = tg(π+a)
]]>
Format de la resposta: en radiants: π i fraccions de π «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo»{«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»k§#960;«/mi»«mo»,«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»k§#960;«/mi»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>L'altre angle és π menys el que hem deduït de la taula.
]]>Format de la resposta: en radiants: π i fraccions de π «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo»{«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»k§#960;«/mi»«mo»,«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»k§#960;«/mi»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» : #G1 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»: #G2
Per tant, les dues solucions són:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Es transformen a positives si cal.
]]>
Format de la resposta: en radiants: π i fraccions de π «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo»{«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»k§#960;«/mi»«mo»,«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»k§#960;«/mi»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>L'altre angle és π+α
]]>Format del resultat: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»k§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»n«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»g«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»l«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»e«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»p«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»o«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»s«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»i«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»t«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»i«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»u«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»11«/mn»«/mstyle»«/math» : #G1 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»21«/mn»«/mstyle»«/math»: #G2
Per tant, cal resoldre les dues equacions:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»21«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable mathcolor=¨#00007F¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»21«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»§#8660;«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable mathcolor=¨#00007F¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»21«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#8660;«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable mathcolor=¨#00007F¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Es transformen els angles a positius si cal.
]]>Format del resultat: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»+«/mo»«mi»k§#960;«/mi»«mo»,«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
]]>i que #w1 i #w2 (=-#w1)tenen el mateix cosinus,
cal resoldre les dues equacions:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»
]]>Format del resultat: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»+«/mo»«mi»k§#960;«/mi»«mo»,«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»n«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»g«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»l«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»e«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»p«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»o«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»s«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»i«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»t«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»i«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»u«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» : #G1 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»: #G2
Per tant, cal resoldre les dues equacions:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable mathcolor=¨#00007F¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»§#8660;«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable mathcolor=¨#00007F¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable mathcolor=¨#00007F¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k§#960;«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>Format del resultat: {x=31+90k,x=320+90k} graus arrodonits sense unitats i positius (suma 360º, si cal)
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»º : #G1 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#176;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»180«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#186;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«/mstyle»«/math»: #G2
Cal resoldre les dues equacions:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»360«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#186;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»360«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#186;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>Fes servir cos a = cos (-a)
Format del resultat: {x=31+90k,x=320+90k} graus arrodonits sense unitats i positius (sumeu 360º, si cal)
]]>
i que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math» tenen el mateix cosinus,
cal resoldre les dues equacions:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»360«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»360«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»
]]>Format del resultat: {x=30+90k,x=320+90k} graus arrodonits sense unitats i positius (sumeu 360º, si cal)
]]>
cal resoldre les dues equacions:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»360«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»360«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>Teorema de Pitàgores
B és l'arc sinus de #b/#a (cal fer-ho amb la hipotenusa sense arrodonir)
Per a trobar C, com que C + B = 90º, fem la resta 90º - #B.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»sin«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»t«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»c«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»tg«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»cos«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»cos«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»t«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»c«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»t«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»g«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»sin«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»c«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»sin«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»c«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»B«/mi»«/math»
Ja pots calcular l'àrea del triangle vermell BCE.
L'angle B = 90º - #C.
I el que volem calcular és el costat oposat a B. Per a trobar el costat oposat, n'hi ha prou amb utilitzar la tangent de B
]]>Has d'utilitzar la tangent que relaciona l'oposat (b) i l'adjacent (c).
]]>S'escriu que cos #B = #c/a
i per tant, a = #c/cos#B
]]>S'escriu que cos #C = #b/a
i per tant, a = #b/cos#C.
Després, cal sumar #a i #b per saber l'altura total de l'arbre.
]]>Format: arrodonit als mil·lèsims i sense unitats
]]>Format: als mil·lèsims i sense unitat
#g
Ara ja pots calcular el radi en funció de la meitat del costat; els angles es dedueixen del fet que l'angle desigual del triangle isòsceles és 360º / #n
]]>#g
Es divideix cada triangle isòsceles en dos triangles rectangles, traçant l'altura.
Es resol el triangle rectangle per trobar mig costat del polígon tenint present que l'angle desigual del triangle isòsceles és 360/#n
]]>Format: als mil·lèsims i sense unitat.
]]>Amb el radi, el costat i el teorema de Pitàgores, pots deduir l'apotema.
]]>Format: als mil·lèsims i sense unitats
Amb el radi, el costat i el teorema de Pitàgores, pots deduir l'apotema.
]]>
En aquest cas, d = #d.
Calculem les tangents de B1 i B2:
tg B1 = y/(x+#d)
tg B2 = y/x
Aïllem y en les dues equacions i igualem per calcular x.
Un cop calculat x en podem deduir y.
]]>
En aquest cas, d = #d.
Calculem les tangents de B1 i B2:
tg B1 = y/(x+#d)
tg B2 = y/x
Aïllem y en les dues equacions i igualem per calcular x.
Un cop calculat x en podem deduir y.
]]>
Calcula les tangents dels dos angles en funció del costat oposat y i dels costats adjacents, x i (#m - x).
Aïlla y i iguala les dues expressions per trobar x.
Substitueix per trobar y.
]]>Format: als mil·lèsims i sense unitats
(La resposta s'ha de donar en metres amb 3 xifres decimals de precisió)
| Teorema del sinus |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»sinA«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»sinB«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»sinC«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mfrac»«/math» |
| Teorema del cosinus |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»bc«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»cosA«/mi»«/math» |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cosA«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»bc«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
]]>Format de la resposta: als centèsims
]]>Cal doncs calcular l'angle A oposat al costat a que mesura #a cm,
amb el teorema del cosinus:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
]]>Format de la resposta: arrel simplificada
]]>
Coneixem l'angle A, i els dos costats que el delimiten AP i AC.
Apliquem el teorema del cosinus per calcular CP.
]]>explicant què vols fer i perquè.
Dos costats d’un parlal·lelogram mesuren a i b . La longitud de la diagonal més curta és de d , troba la longitud de l’altra diagonal.
Per mesurar l’altura d’un núvol s’han fet simultàniament dues observacions des dels punts A i B distants entre si 1 quilòmetre i situats tots dos al nivell del mar. La inclinació de la visual des de A al núvol respecte a la horitzontal és de A1º. Els angles que formen les visuals de de A i des de B amb la recta AB són, respectivament, de A2◦ i B◦ tal com s’indica a la figura següent:
Calculeu l’altura del núvol respecte al nivell del mar.
]]>Volem penjar un llum a una certa distància del sostre d’una habitació. Per fer-ho, agafem una corda, hi lliguem el llum i la clavem pels extrems en dos punts del sostre separats per una distància de d centímetres, de manera que els angles entre la corda i el sostre són de A◦ i B◦ a cada un dels extrems.
(a) Quina serà la longitud total de la corda? (b) A quina distància del sostre quedarà el llum?
a) Una roda d'una màquina ha donat 5 voltes i mitja. Quina és la mesura de l'angle que ha girat qualsevol punt del volant?
b) I si ha donat 4 voltes i quart?
c) I si ha donat 10 voltes i tres quarts?
d) Si un punt de la roda ha girat un angle de mesura 2520º, quantes voltes ha donat? I si l'angle és de 1200º?
e) Troba un gir de menys d'una volta que deixi la roda en la mateixa posició que un gir de 900º.
f) Si la roda pot girar en tots dos sentits, com creus que podem diferenciar un sentit de gir de l'altre quan donem la mesura de l'angle recorregut?
Un vaixell surt d'un port navegant a v Km/h. La distància entre el port i un far que està en direcció nord és de m Km. Si el vaixell navega en direcció nord-est, troba la seva distància al far al cap de dues hores d'haver sortit del port.
El procés seguit per calcular determinades distàncies està basat en l'efecte de paral·laxi. És el mateix procediment que s'ha fet servir en astronomia per a saber amb precisió les distàncies a les quals es troben els astres.
a) Així per a saber la distància de la Terra a la Lluna es fan observacions agafant com a base una distància igual al radi de la Terra (6 370 km). L'angle β (angle de paral·laxi) té un valor de 0,95º. Calcula amb aquestes dades la distància de la Terra a la Lluna.
b) L'estel més proper a la Terra és Alpha Centauri. Utilitzant com a base d'observació el diàmetre de l'òrbita de la Terra al voltant del Sol ( la distància de la Terra al Sol és de 150 milions de km) i sabent que l'angle de paral·laxi és de 1,52 segons d'arc, calcula la distància a que ens trobem d'aquest estel
Resultat amb enters fraccions o arrels simplificades
]]>Per l'àrea, l'hexàgon està format de 6 triangles equilàters dels quals es fàcil calcular l'altura amb el teorema de Pitàgores.
]]>Calculeu la longitud dels 3 costats i els 3 angles.
Format de les respostes: costats {2,3,4} angles {30,80,70}. Arrodonits a la unitat
]]>Sabem que a+b = #s, per tant, b = #s - a.
L'altura sobre el costat a és h = «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»30«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#186;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
L'àrea del triangle és doncs «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»p«/mi»«/mstyle»«/math»
a · (#s - a) = 4 · #p té dues solucions intercanviables que són a i b.
També es pot raonar amb les 3 equacions i substituir a i h a la 3a per trobar b
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8658;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»30«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#186;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8658;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»p«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8658;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»p«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»0«/mn»«/mstyle»«/math»
el costat c es pot calcular aplicant el teorema del cosinus
Els 3 costats són #sol1
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»c«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»o«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»s«/mi»«mfenced mathcolor=¨#000066¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
L'angle B és 180º - 30º - A.
I els angles són #sol2
]]>#G1
Arrodonit, el costat AB mesura: #sol1 (feu servir la quantitat exacta per la resta del problema)
]]>#G2
S'aplica el teorema del sinus, ja que tenim els angles i el costat oposat a un d'ells.
]]>
Arrodoneix a la unitat
]]>
L'angle B del triangle blau és igual a 180º - #a2
Apliquem el teorema del sinus al triangle ABC, i aïllem x.
El valor aproximat de x és #sol2
]]>
Es calcula primer la hipotenusa AB del triangle rectangle ADB, amb el teorema de PItàgores.
També es pot calcular l'angle A en el triangle ADB, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#999999¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#999999¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#999999¨»atg«/mi»«mfrac mathcolor=¨#999999¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»d«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#999999¨»§#8771;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#999999¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#999999¨»A«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#999999¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
En el triangle ABC, podem calcular els 3 angles,
i com que tenim un costat (AB), podem calcular AC amb el teorema del sinus.
]]>
En el triangle CEB, l'angle «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#945;«/mi»«/math» mesura 180- «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#946;«/mi»«/math».
I per tant «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#948;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»180«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#186;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»180«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#186;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»180«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#186;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#946;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#946;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»B«/mi»«/math»
Apliquem el teorema del sinus en el triangle CEB per calcular el costat CE oposat a B conegut, amb el costat EB conegut i l'angle «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#948;«/mi»«/math» conegut.
Per calcular CD, n'hi ha prou amb escriure que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»sin«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#946;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»CD«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»CE«/mi»«/mfrac»«/math»
]]>
Calculeu la longitud de CD, AB, AC i CB.
Format de les respostes: Arrodonides als centèsims
]]>Al terrat d'un edifici hi ha instal·lada una antena de telefonia mòbil. Des d'un punt P del carrer, l'angle entre l'horitzontal i la línia que va de P cap a l'extrem superior de l'antena és de #P1°. Ens apropem fins a un punt Q que és #d1 metres més a prop de l'edifici i ara l'angle entre l'horitzontal i la línia que apunta cap a l'extrem superior de l'antena és de #D1°, mentre que l'angle entre l'horitzontal i la línia que apunta cap a l'extrem inferior de la mateixa antena és de #C1°.
Feu un esquema de la situació
a) Calculeu la distància de Q a l'extrem superior de l'antena.
b) Calculeu la distància de Q a l'extrem inferior de l'antena.
c) Calculeu l'altura de l'antena
d) Calculeu l'altura de l'edifici.
Format de les respostes: Arrodonides als centèsims
]]>
La fracció i l'arrel es simplifiquen, si es pot.
]]>| Equació «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨18px¨»«mrow»«msup mathcolor=¨#FFFFC3¨»«mi mathcolor=¨#FFFFC3¨»ax«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo mathcolor=¨#FFFFC3¨»+«/mo»«mi mathcolor=¨#FFFFC3¨»bx«/mi»«mo mathcolor=¨#FFFFC3¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨ mathcolor=¨#FFFFC3¨»c«/mi»«mo mathcolor=¨#FFFFC3¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#FFFFC3¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨ mathcolor=¨#FFFFC3¨»§#916;«/mi»«mo mathcolor=¨#FFFFC3¨»§#60;«/mo»«mn mathcolor=¨#FFFFC3¨»0«/mn»«mo mathcolor=¨#FFFFC3¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» en ℂ |
| En el conjunt dels complexos, les equacions de 2n grau es fan igual que en el conjunt dels reals, però si el discriminant és negatiu (Δ=-K), es substitueix per Δ=Ki2. Es calcula primer el discriminant: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#916;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» = -K Com que és negatiu, el substitueix per Ki2. Les solucions són «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»z«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#177;«/mo»«msqrt»«mi mathvariant=¨bold¨»K«/mi»«msup mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»i«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#177;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»i«/mi»«msqrt»«mi mathvariant=¨bold¨»K«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» |
]]>
per calcular les potències de i, cal fer la divisió entera de l'exponent per 4 i fixar-se en el residu r:
Exemple 1: i26. 26:4 → 26 = 4·6 +2 (residu 2):
i26 = (i4)6 · i2 = 1 · i2 = -1
Exemple 2: i39: 39 = 4·9 + 3 => i39 = (i4)9 ·i3 = 1·i3 = -i.
i4·q+r = i4·q · ir = 1 · ir
Cal doncs fer la divisió entera de la potència per 4.
El residu de la divisió de #a per 4 és #r1, per això «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»i«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»i«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»r«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»s«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»o«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»l«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
El residu de la divisió de #c per 4 és #r3
El residu de la divisió de #d per 4 és #r4
]]>i4·q+r = i4·q · ir = 1 · ir
Cal doncs fer la divisió entera de la potència per 4.
El residu de la divisió de #a per 4 és #r1, per això «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»i«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«msup mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»i«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»r«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»s«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»o«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»l«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
El residu de la divisió de #c per 4 és #r3
El residu de la divisió de #d per 4 és #r4
]]>bi és un nombre imaginari pur.
b. La part imaginària és i amb el seu coeficient
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»k«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»k«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»z«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»z«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»m«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
són iguals?
Format de la resposta: -2
k - #m = #b
]]>Els signes de a i b ens indiquen
en quin quadrant està l'afíx del nombre.
Format de la resposta: arrel simplificada
]]>Format de la resposta: arrel simplificada
]]>Format de la resposta: arrel simplificada
]]>Format de la resposta: arrodonida a la unitat.
]]>Format de la resposta: arrodonida a la unitat.
]]>Format de les respostes: arrel simplificada i angle arrodonit sense unitats
]]>Mira el gràfic: #G
Situa l'angle i calcula l'arc tangent de b/a
]]>|
Conversió de forma polar a binòmica
|
|
El nombre complex «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»z«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»§#945;«/mi»«mo»§#176;«/mo»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math», s'escriu,
en FORMA BINÒMICA,
(utilitzant la forma trigonomètrica): «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»z«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»cos§#945;«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»sin§#945;«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»cos§#945;«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»sin§#945;«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
Format de la resposta: z=a+bi (coeficients enters).
]]>Format de la resposta: z=a+bi (coeficients enters).
]]>Format de la resposta: z=a+bi (coeficients enters).
]]>Dedueix a = r·cosa
b = r· sina
]]>Format de la resposta: z=a+bi (coeficients enters).
]]>Dedueix a = r·cosa
b = r· sina
]]>| Operacions en forma binòmica |
|
ADDICIÓ: La part real de la suma és la suma de les parts reals; la part imaginària de la suma és la suma de les parts imaginàries. |
|
SUBTRACCIÓ: La part real de la diferència és la diferència de les parts reals; la part imaginària de la diferència és la diferència de les parts imaginàries. |
|
MULTIPLICACIÓ: = (ac-bd) + (ad+bc)i Multiplico distributivament.Com que i2 = -1, bdi2 es transforma en -bd. |
|
DIVISIÓ: Multiplico i divideixo pel conjugat.Com que i2 = -1, -bdi2 es transforma en bd. |
i restem les parts imaginàries
]]>| Binomi de Newton (a + bi)n |
Triangle de Pascal: |
Desenvolupament del Binomi:
Per exemple: (a + bi)4 = 1·a4 + 4·a3·(bi) + 6·a2·(bi)2 + 4·a·(bi)3 + 1·(bi)4 = a4 + 4a3bi - 6a2b2 - 4ab3i + b4 |
a) Quants termes té el desenvolupament?
b) Quin és valor del #p sumand?
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨18px¨»«mrow»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»C«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mrow»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup mathcolor=¨#0000FF¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mrow»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup mathcolor=¨#0000FF¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»i«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>Els coeficients són 1 5 10 10 5 1
La part imaginària del resultat es calcula amb: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«msup mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«msup mathcolor=¨#0000FF¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»i«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Igualo la part real i la part imaginària amb les de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»c_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»11«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Atenció: cal que la part real i la part imaginàries siguin iguals!
]]>Operacions en forma polar
Multiplicació
Es multipliquen els mòduls i es sumen els arguments
Divisió
Es divideixen els mòduls i es resten els graus:
Potència
S'eleva el mòdul i es multiplica l'argument
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»r_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#186;«/mo»«/mrow»«/msub»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»r_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#186;«/mo»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
Format de la resposta:
r=«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/math»
a=330
Format de la resposta:
r=«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/math»
a=330
a) quin és el seu mòdul
b) quin és el seu argument
c) quina és la seva forma binòmica
Format de la resposta:
r=«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/math»
a=330
z: coeficients als deumil·lèsims
| Arrel enèsima en forma polar |
Per a calcular l'arrel enèsima d'un nombre en forma polar:
|
Format de la resposta (SENSE unitats):
r=«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/math»
arguments={20,140,260} amb CLAUS
Format de la resposta (SENSE unitats):
r=«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/math»
arguments={20, 110, 200, 290}
Format de la resposta:
r=«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a=«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Format de les respostes:
||z||=«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/math»
arguments={15,70,105}
Format:
||z|| = mòdul de tots els afixos.
arguments ={20,30,40,50}
]]>L'argument, en un pentàgon, va augmentant de 360º/5.
]]>Format: amb claudàtor
| Components d'un vector |
| Si A(x1,y1) és l'origen i B (x2,y2) és l'extrem, les components del vector són: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»AB«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» = (x2 - x1, y2 - y1)
Cal recordar que:
origen = extrem - vector
extrem = origen + vector |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>
| Mòdul i argument d'un vector |
|
Un vector de components (x,y) té:
per mòdul «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨||¨ close=¨||¨»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
per argument «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#945;«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»arc«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»tg«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
|
Situa l'angle en el quadrant correcte
en funció dels signes de x i y
|
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mstyle»«/math»
Atenció en com entres les dades a la calculadora.
Tot el radicand ha d'estar entre parèntesis.
I si un dels components és negatiu, el seu quadrat sempre és positiu: (-3)2 = 9
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Després calcula el mòdul amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mstyle»«/math»
Presta atenció a com entres les dades a la calculadora
]]>Mòdul: Fracció o arrel simplificada
35º (arrodonit a la unitat).
#G1
]]>#G1
Si et fixes en el signe de les components, l'angle està en el #Q quadrant, o sigui #Q2. Es calcula doncs amb: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Vector posició |
|
Si A(x,y) és un punt qualsevol, anomenem vector posició de A, el vector que va de l'origen de coordenades O(0,0) al punt A. Les seves components són: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» = (x,y) |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«msqrt mathcolor=¨#0000FF¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mstyle»«/math»
]]>Pensa en posar la calculadora en RADIANS!
]]>a) mòdul: arrel simplificada
b) angle: 122º (arrodonit als graus)
]]>#G1
]]>L'argument és l'arc tangent de la segona component dividida per la primera:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»arc«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»tg«/mi»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
ATENCIÓ: L'ANGLE ÉS UN ANGLE DEL QUADRANT «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#FF0000¨»Q«/mi»«/math»
#G1
]]>Per sumar vectors,
sumo els seus components:
(3,2) + (-4,5) = (-1,7)
El vector suma és el vector vermell
]]>i la segona amb la segona!: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»d«/mi»«/mstyle»«/math»
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
i la segona amb la segona:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
Restar un vector és sumar el seu oposat
(3,2) - (-4,5) = (3,2) + (4,-5) =(7,-3)
En negre els vector «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#191919¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mstyle»«/math»,
En vermell el vector «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#FF0000¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mstyle»«/math»
En verd, el vector que resulta de la subtracció.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»c«/mi»«/mstyle»«/math»
i restar la 2a component del segon vector a la segona del primer vector. segona:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»d«/mi»«/mstyle»«/math»
]]>Per multiplicar un vector per un escalar,
multipliquem els components:
5·(-3,4) = (-15,20)
Com que són vectors lliures, pots col·locar el seu origen on vulguis.
]]>Combinació lineal
Una combinació lineal de vectors
consisteix en multiplicar vectors
i a sumar els resultats
3(-2,5)+2(-3,4) = (-6,15) + (-6,8) = (-12,23)
| Vectors independents |
|
Si dos vectors són linealment dependents els seus components són proporcionals: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8660;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» Si és zero, són dependents. Sinó, són independents.
|
| Vectors |
| a) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| b) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
a) #G1 b) #G2
]]>a) #s1
b) #s2
]]>| Vectors |
| a) (#a1, #a2) i (#a3, #a4) |
| b) (#b1, #b2) i (#b3, #b4) |
| c) (#c1, #c2) i (#c3, #c4) |
| d) (#d1, #d2) i (#d3, #d4) |
a) #G1
b) #G2
c) #G3
d) #G4
]]>a) #s1
b) #s2
c) #s3
d) #s4
]]>| Vectors independents (pendent) |
|
Si dos vectors són linealment dependents tenen el mateix pendent ja que els seus components són proporcionals. |
| Vectors |
| a) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| b) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
a) #G1 b) #G2
]]>a) #pa1 i #pa2
b) #pb1 i #pb2
| Vectors generadors |
|
Si dos vectors són generadors els seus components NO són proporcionals. Es calcula el seu determinant «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/math» Si NO és zero, són generadors. Si és zero, no ho són. EN EL PLA, SI 2 VECTORS SÓN INDEPENDENTS, SÓN GENERADORS |
| Vectors |
| a) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| b) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
a) #G1 b) #G2
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mover mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»en«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»blau«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»en«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»vermell«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
per trobar els coeficients de la combinació lineal
]]>
| Bases de l'espai vectorial |
|
Si dos vectors són linealment independents i generadors són base del pla En el pla, dos vectors independents són base, ja que són generadors. |
| Vectors |
| a) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| b) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
a) #G1 b) #G2
]]>a) #s1
b) #s2
També pots comparar els pendents per saber si són independents i, per tant, base.
]]>| Canvi de base (I) |
|
Per trobar els components d'un vector (a,b) en una base qualsevol «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mfenced»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»cal resoldre: |
Format: [-3,2] enters o fraccions simplificades
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mover mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mover mathcolor=¨#0000FF¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mover mathcolor=¨#0000FF¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8660;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
i has de resoldre el sistema.
]]>| Canvi de base (II) |
|
Els components (a,b) en la base canònica d'un vector que té components (x,y) en la base «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mfenced»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» són |
quins components té en la base canònica «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»j«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«/mfenced»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»amb«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»j«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»?
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Definició del producte escalar |
|
El producte escalar de dos vectors en el pla es defineix com: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»cos«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mover»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#9182;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
]]>
|
Càlcul del producte escalar amb components |
|
Si s'expressa amb components, el producte escalar es calcula amb: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
b) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow mathcolor=¨#003300¨»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»[«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»]«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»?
Format de la resposta: [-3,4]
El resultat és un nombre que es multiplica per l'últim vector (per tant, per les seves components). Es fa el mateix en el b).
| Angle entre dos vectors |
|
L'angle entre dos vectors es calcula amb: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»cos«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mover»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#9182;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»arc«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«mrow»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»arc«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
El producte escalar és: #p
El mòdul del primer vector és #m1
El mòdul del segon vector és #m2
I cal calcular l'arc cosinus de #a. Atenció a les unitats de la calculadora!
Dona la resposta en graus arrodonits la unitat: 45º
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»arc«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«mrow»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»arc«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»cos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
El producte escalar és: #p
El mòdul del primer vector és #m1
El mòdul del segon vector és #m2
I cal calcular l'arc cosinus de #a. Atenció a les unitats de la calculadora!
| Perpendicularitat de vectors |
|
Si dos vectors no nuls són perpendiculars, el seu producte escalar és nul i viceversa: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»S«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8800;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8800;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8660;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8869;«/mo»«mover mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mstyle»«/math» |
Format de la resposta: enter o fracció simplificada: -5/2
Per treure l'arrel, s'eleva al quadrat.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»r«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»tg«/mi»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>
Cal doncs que el determinant de la matriu #M sigui igual a zero.
]]>Es recorda que el mòdul d'un vector unitari és 1.
Format de la resposta: [2,3] Simplificat
El producte escalar ha de ser nul:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#8658;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»x«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»el«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»vector«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»escriu«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#000066¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>
Dividim pel mòdul: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«msqrt mathcolor=¨#000066¨»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»x«/mi»«msqrt mathcolor=¨#000066¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»x«/mi»«msqrt mathcolor=¨#000066¨»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»7«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»x«/mi»«/mstyle»«/math»
El vector demanat és doncs:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#000066¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»7«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»7«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#000066¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»7«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»7«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
i es racionalitza, si cal!
]]>| Vectors equipol·lents |
| Es diu que dos vectors són equipol·lents si tenen les mateixes components. La relació d'equipol·lència R és una relació d'equivalència, ja que és:
|
| Aplicacions de l'equipol·lència |
 |
Format de la resposta: [-5/2,3]
Es calculen les coordenades de C fent servir que C és l'extrem del vector AC
]]>
Format de la resposta: [-5,3]
El radi és la meitat del mòdul del vector AB.
]]>Si el primer punt és D, D és l'extrem d'un vector d'origen A i de longitud igual a 1/4 del vector AB.
Si el segon punt és E, E és l'extrem d'un vector d'origen A i de longitud igual a 1/2 del vector AB.
Si el tercer punt és F, F és l'extrem d'un vector d'origen A i de longitud igual a 3/4 del vector AB.
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»D«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»d«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
i es resol Determinant = 0.
]]>
Format de la resposta: [2/3,-1/3]
Si els vectors són perpendiculars, el seu producte escalar és zero.
Cal doncs resoldre: (#x_1) · x + (#y_1) · y = 0
Calcula el seu mòdul, i divideix els components pel mòdul per tal que sigui unitari.
CAL SIMPLIFICAR
]]>
El mòbil està sotmès al seu propi pes, P = #P N.
El vector P es pot escriure com la suma d'un vector paral·lel al pla, i d'un vector perpendicular al pla.
1. Quin és el mòdul de la força F?
2. Quin és el mòdul de la reacció del suport S2?
3. Recorda que si una massa m està sotmesa a una força F, pateix una acceleració a tal que F = m·a. Si m = #m kg, quina és la seva acceleració? (arrodonida)
]]>
Fem descomposició del pes (AB) en dues direccions: una paral·lela al pla inclinat, l'altra perpendicular.
Considerem el triangle rectangle ACB rectangle en C. L'angle BAC és el complementari de l'angle α, i val doncs (180º-α).
És per això que l'angle ABC és igual a l'angle α ja que 180º - (180º -α) = α
Per determinar F (costat oposat a l'angle ABC) sabent la hipotenusa (P) i l'angle, només cal fer servir el sinus:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»sin§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8201;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold¨»F«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»P«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8658;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»F«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»P«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»sin§#945;«/mi»«/math»
]]>
S1 i S2 han de ser iguals ja que el mòbil es manté sobre el suport.
En el triangle ADB, l'angle ABD és 90º-α (complementari de ABC) , i l'angle DAB = α (tercer angle del triangle rectangle ADB).
Si emprem l'angle α, S1 és el costat adjacent i P la hipotenusa, i per tant:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»cos§#945;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»S«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨bold¨»P«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8658;«/mo»«msub mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»S«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«msub mathcolor=¨#00007F¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»S«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»P«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»cos§#945;«/mi»«/mstyle»«/math»
]]>Com que F = #sol1 N, i m = #m, n'hi ha prou amb dividir per calcular a.
]]>Format: arrodonit
]]>Si la suma dels 2 vectors és un vector horitzontal, és que la suma de les components verticals (en verd) dels vectors és nul·la, i que per tant les components verticals són iguals i oposades.
Posa les dades de l'enunciat amb els cursors, i fes que el vector resultant (negre) sigui horitzontal (ordenada =0)
Es poden calcular les components verticals dels dos vectors amb el sinus de l'angle.
]]>
La component vertical del vector vermell és #f1 = #n1 · sin#a1.
La component vertical del vector blau és #n2 pel sinus de l'angle que ens demanen.
]]>Si el pes de la làmpada és de #n N, quina força exerceix cada fil, CA i CB (arrodoneix a la unitat)
| Amb un punt A(xA,yA) i un vector (xV,yV) |
| Equació vectorial |
| (x,y) = (xA,yA) + k· (xV,yV) |
Format: punts i vector amb claudàtors [2,3]; paràmetre: k
]]>
| Amb un punt A(xA,yA) i un vector (xV,yV) |
| Equacions paramètriques |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#955;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»§#955;«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math» |
]]>
Format: {x=k-3,y=2k+6)
]]>
| Amb un punt A(xA,yA) i un vector (xV,yV) |
| Equació contínua |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mfrac»«/math» |
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathcolor=¨#007F00¨ mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathcolor=¨#007F00¨ mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathcolor=¨#007F00¨ mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathcolor=¨#007F00¨ mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathcolor=¨#007F00¨ mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathcolor=¨#007F00¨ mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»
]]>
]]>
El vector en els denominadors.
]]>]]>
El vector es calcula amb extrem(B) - origen(A).
]]>| A partir de l'equació contínua |
| Equació cartesiana |
|
1. Es calcula el mcm (el mcm és sempre positiu) 2. Es redueixen les fraccions a denominador comú (multiplicant els numeradors pel mateix nombre amb el qual s'ha multiplicat el denominador) 3. S'eliminen els denominadors i es transposen tots els termes a l'esquerra. Exemple: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»9«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»15«/mn»«/mfrac»«mo»§#8660;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«mn»45«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«mn»45«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mo»§#8660;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»14«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»mc«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»mc«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»
i traiem els denominadors:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/mstyle»«/math»
Només cal treure els parèntesis:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
I transposar-ho tot a l'esquerra del signe =.
]]>
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Treu denominadors amb el seu mcm i transposa-ho tot a l'esquerra.
]]>| A partir de l'equació cartesiana |
| Equació explícita |
|
A partir de l'equació cartesiana, s'aïlla la y. Exemple: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» També es pot aïllar a partir de l'equació contínua |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
Un vector director és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mover mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»
Es treuen denominadors, posant com a denominador comú el mcm de #v1 i #v2:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»mc«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»mc«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»
i traiem els denominadors:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/mstyle»«/math»
Només cal treure els parèntesis:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
I aïllar la y.
]]>| AMB 2 PUNTS A i B |
| Equació explícita |
|
Es troba m i n per substitució Exemple: L'equació explícita y=mx+n de la recta que passa per A(1,-1) i B(3,5) es troba substituint x i y per les coordenades dels punts: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mo»+«/mo»«mi»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»m«/mi»«mo»+«/mo»«mi»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»§#8660;«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» i l'equació és y = 3x-4 |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Pots comprovar el pendent m que has trobat amb el vector director «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
| Amb un punt A(xA,yA) i un vector (0,yV) |
|
Si el vector és del tipus (0,3) és un vector vertical, i la recta és una recta vertical d'equació y = yA (perquè passa pel punt!) |
| Amb un punt A(xA,yA) i un vector (xV,0) |
|
Si el vector és del tipus (0,5), és un vector horitzontal, i la recta és una recta horitzontal d'equació x = xA (perquè passa pel punt!) |
]]>
#G1
]]>]]>
#G1
]]>| De cartesiana/explícita a paramètriques |
|
Passa, si cal, la cartesiana a explícita: y = mx + n
Ja tens les equacions paramètriques: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»mk«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math» |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Paràmetre: k
]]>Si es substitueix x per k en #e, trobem l'equació #e1. A partir de #e1, si aïllem la y, trobem l'equació paramètrica que correspon a y.
]]>
Paràmetre: k
]]>x = k és la primera equació paramètrica.
Substitueix x per k en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«/mstyle»«/math», i tens la segona equació paramètrica «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>Paràmetre: k
]]>Substitueix x per k en l'equació «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»e«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», i ja tens la segona equació paramètrica «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| De paramètriques a contínua i viceversa |
|
Per passar de paramètriques a contínua, s'identifica el punt (xA,yA) i el vector (xV,yV) i s'escriu la contínua
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8658;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»Punt«/mi»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»Vector«/mi»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8658;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»Cont§#237;nua«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»:«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mfrac»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mrow mathcolor=¨#191919¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»9«/mn»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8658;«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mfenced»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»o«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»r«/mi»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8658;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»o«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»t«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»§#237;«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»:«/mo»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»9«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
|
Per passar de contínua a paramètriques, s'identifica el punt (xA,yA) i el vector (xV,yV) i s'escriuen les paramètriques
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8658;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi mathcolor=¨#0000FF¨ mathvariant=¨bold¨»Punt«/mi»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»Vector«/mi»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8658;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»P«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»r«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»m«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#232;«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»t«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»r«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»i«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»q«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»u«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»e«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#00007F¨»s«/mi»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathcolor=¨#0000FF¨ mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathcolor=¨#0000FF¨ mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub mathcolor=¨#FF0000¨»«mi mathcolor=¨#FF0000¨ mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac mathcolor=¨#191919¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#191919¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#191919¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»9«/mn»«/mfrac»«mo»§#8658;«/mo»«mtable mathcolor=¨#191919¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»Punt«/mi»«mfenced»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»Vector«/mi»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo»§#8658;«/mo»«mi»P«/mi»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»m«/mi»«mi»§#232;«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mfenced mathcolor=¨#191919¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»9«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
]]>
Paràmetre: k
Si substituïm x per k en l'equació explícita #e, trobem l'equació #e1 que és la segona equació paramètrica.
]]>Paràmetre: k
]]>]]>
|
Deduir vector i punt |
|
|
Equació vectorial: (x,y)=(xA,yA)+ k· (xV,yV) |
Punt (xA,yA). Vector = (xV,yV) |
| Equacions paramètriques: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math» | Punt (xA,yA); vector = (xV,yV) |
| Equació contínua: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»V«/mi»«/msub»«/mfrac»«/mstyle»«/math» | Punt (xA,yA); vector = (xV,yV) |
| Equació cartesiana: ax + by + c = 0 | Punt (0,-c/b); vector= (-b,a) |
| Equació explícita: y = mx+n | Punt (0,n); vector = (1,m) |
| La cartesiana i l'explícita es poden transformar a paramètriques per a determinar un punt i un vector! | |
Format: punt = (1,2) i vector = [1,2]
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
Format: punt(2,3) i vector [2,3]
]]>Els components del vector són els denominadors
]]>
Format del punt (0,2) i del vector: [-1,2]
]]>
Format del punt (0,2) i del vector [1,3]
]]>| Determinar el pendent |
Els pendents es dedueixen:
|
Format de la resposta: enter o fracció simplificada
| Paral·lelisme: vectors | |
| 2 rectes són paral·leles si, i només si, els seus vectors directors són dependents (proporcionals): «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8660;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»0«/mn»«/mstyle»«/math»
 |
b) Determina el vector director que resulta de l'equació de s. Format: [2,3]
c) Determina si són paral·leles. Format: S si ho són i N si no ho són.
]]>
el gràfic és #G1
]]>Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» per esbrinar si són proporcionals
]]>
b) Determina el vector director que resulta de l'equació de s. Format: [2,3]
c) Determina si són paral·leles. Format: S si ho són i N si no ho són.
]]>
el gràfic és #G1
]]>Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» per esbrinar si són proporcionals
]]>
b) Determina el vector director que resulta de l'equació de s. Format: [2,3]
c) Determina si són paral·leles. Format: S si ho són i N si no ho són.
]]>
el gràfic és #G1
]]>Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» perquè, en l'equació contínua, els components d'un vector director són els denominadors.
Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» per esbrinar si són proporcionals
]]>
Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Per tal que siguin paral·leles, cal que els vectors siguin proporcionals i que:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Paral·lelisme: pendents | |
|
2 rectes són paral·leles si, i només si, els seus pendents són iguals.
|
b) Determina el pendent de s. Format: enter o fracció simplificada
c) Determina si són paral·leles. Format: S si ho són i N si no ho són.
]]>
El pendent de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»sol«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
Compara'ls
]]>
b) Determina el pendent de s. Format: enter o fracció simplificada
c) Determina si són paral·leles. Format: S si ho són i N si no ho són.
]]>
Un vector de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mstyle»«/math» ja que, en l'equació contínua, els components són els denominadors.
Calcula els pendents i compara.
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#003300¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#003300¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«/mstyle»«/math»
a) Determina el pendent de r. Format: enter o fracció simplificada
b) Determina el pendent de s. Format: enter o fracció simplificada
c) Determina si són paral·leles. Format: S si ho són i N si no ho són.
]]>
Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»u«/mi»«/mstyle»«/math» perquè, en l'equació explícita y =mx+n, el vector és [1,m]
Calcula els pendents i compara'ls
]]>
| Escriure l'equació d'una recta paral·lela | |
|
AMB VECTORS Per escriure l'equació de la recta s, paral·lela a la recta r, fem servir el punt per on passa s i un vector director de r. Exemple: Si r és 2x-3y+5=0 té, (3,2) també és vector director de s. Si s passa pel punt (2,-2) la seva equació contínua és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» d'on es poden deduir les altres equacions. |
|
|
AMB PENDENTS Una recta paral·lela a la recta r té el mateix pendent que r. Exemple: Una recta paral·lela a r: =2x-1 té per pendent 2 i s'escriu y = 2x + n. Si passa pel punt (2,-2), substituint x i y es troba que -2 = 2·2 + n, o sigui n = -6. L'equació explícita és doncs y = 2x-6 |
i les rectes són #G2
]]>Com que s és paral·lela a r, aquest vector «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»u«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» també és director de s.
Per escriure l'equació contínua de s, ja tenim:
]]>
#G1
Per a trobar n, cal substituir x i y per les coordenades del punt: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
Condició de perpendicularitat amb vectors
|
|
2 rectes són perpendiculars si, i només si, els seus vectors directors són perpendiculars, o sigui si el seu producte escalar és 0:
x1·x2 + y1·y2 = 0
|
]]>
b) Esbrina si són perpendiculars: S per si, N per no.
#G1
]]>Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
El producte escalar és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b) Esbrina si són perpendiculars: S per si, N per no.
#G1
]]>Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
El producte escalar és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b) Esbrina si són perpendiculars: S per si, N per no.
#G1
]]>Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
El producte escalar és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
Perpendicularitat amb pendents
|
|
2 rectes són perpendiculars si, i només si, els seus pendents m i m' són tal que:
m · m' = -1
|
]]>
b) Esbrina si són perpendiculars: S per si, N per no.
#G1
]]>El pendent de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
Multiplica'ls
b) Esbrina si són perpendiculars: S per si, N per no.
#G1
]]>El pendent de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
Multiplica'ls
Per quin valor de m són perpendiculars?
]]>Un vector director de r és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»u«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Un vector director de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Cal que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«/mstyle»«/math»= 0
El pendent de r és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
El pendent de s és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Cal que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Escriure l'equació d'una recta perpendicular | |
|
AMB VECTORS Per escriure l'equació de la recta perpendicular a la recta r de vector director (A,B) fem servir un punt i el vector (-B,A) que és perpendicular a (A,B) Exemple: Una perpendicular a r : 2x-3y+5=0 té per vector director (-2,3). Si passa pel punt (2,-2) la seva equació contínua és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» d'on es poden deduir les altres equacions. |
|
|
AMB PENDENTS Una recta perpendicular a la recta r (de pendent m) té un pendent m' tal que: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» Exemple: Una recta perpendicular a r: =2x-1 té per pendent -1/2 i s'escriu y = -1/2·x + n. Si passa pel punt (2,-2), substituint x i y es troba que -2 = -1/2·2 + n, o sigui n = -1. L'equació explícita és doncs y = -1/2·x-1 |
#G2
]]>Un vector perpendicular a «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»21«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Per escriure l'equació contínua de s, ja tenim:
Com que són perpendiculars, si m`és el pendent de r, el pendent m de s és tal que m·m'=-1: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
L'equació de s s'escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Per calcular n, cal substituir x i y per les coordenades del punt «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»A«/mi»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#FF0000¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»n«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Determinar el vector director de r, fent nul el producte escalar i a partir de l'equació contínua, amb el punt i el vector, arribar fins l'equació explícita.
]]>
Cal doncs:
1. Comparar vector/pendents
2. Si els vectors són dependents (o els pendents iguals), cal mirar:
| Posició relativa (vectors) |
|
Si dues rectes tenen la mateixa direcció, paral·leles o coincidents, els seus vectors directors són dependents (proporcionals). Si dues rectes són secants, en canvi, els seus vectors directors són independents (NO proporcionals). Es recorda que 2 vectors són dependents si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow mathcolor=¨#007F00¨»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8660;«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mstyle»«/math» Per distingir si són paral·leles o coincidents es pot comprovarsi un punt de l'una pertany a l'altra |
Un vector de s és #vs
#c1
]]>Un vector de s és #vs
#c1
]]>Un vector de s és #vs
#c1
]]>a) vector director de r: [-3,5/3]
b) vector director de s: [1,5/3]
c) PR (posició relativa): 1 per secants, 2 per coincidents, 3 per paral·leles
]]>#G1
]]>#c1
]]>| Posició relativa (pendents) |
|
Si dues rectes tenen la mateixa direcció, paral·leles o coincidents, els pendents són iguals. Si dues rectes són secants, en canvi, els seus pendents són diferents Es recorda que pendents diferents «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8800;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#007F00¨»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«msub»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«/mstyle»«/math» Per distingir si són paral·leles o coincidents es pot comprovarsi un punt de l'una pertany a l'altra |
Un vector de s és #vs i el pendent és #ps
#c1
]]>Un vector de s és #vs i el seu pendent és #ps
#c1
]]>Un vector de s és #vs i el seu pendent és #ps
#c1
]]>#G1
]]>#c1
]]>
Cal doncs:
1. Comparar vector/pendents
2. Si els vectors són dependents es pot determinar si un dels vectors directors i un vector que les uneix són dependents
a) Troba el vector director de r inclòs en l'enunciat
b) Troba el vector director de s inclòs en l'enunciat
c) Troba el vector que va de r a s a partir dels punts de l'enunciat
d) Determina la posició relativa de r i s
Format de la resposta:
El vector de s és #vs
El punt de r és #A i el punt de s és #B: el vector de r a s és #vp
Determina si són independents 2 a 2.
a) Troba el vector director de r inclòs en l'enunciat
b) Troba el vector director de s inclòs en l'enunciat
c) Troba el vector que va de r a s a partir dels punts de l'enunciat
d) Determina la posició relativa de r i s
Format de la resposta:
Un vector de s és #vs
Un vector entre r i s és #vp
Són independents de 2 en 2?
]]>
| Punt d'intersecció de 2 rectes |
|
Per trobar el punt d'intersecció de 2 rectes secants, es resol el sistema format per les equacions de la forma més adient. |
| Punt d'intersecció: reducció |
|
Si tens les equacions cartesianes, ho pots resoldre per reducció. «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mrow mathcolor=¨#00007F¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»3«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathsize=¨12px¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»3«/mn»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathsize=¨12px¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#8660;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»6«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»4«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»6«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»9«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»21«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨».«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨».«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨».«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#8658;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathsize=¨12px¨»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/math» Es tallen en el punt (2,1). Si dona 0y=0, són coincidents. Si dona 0y≠0, són paral·leles. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«/mstyle»«/math» i «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mtext mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»s§#8801;#r_2«/mtext»«/mstyle»«/math»
Format de la resposta:
a) Equació (obtinguda després d'eliminar l'abscissa x): 8y=-12
b) Punt d'intersecció = (-1/3,2/3) entre parèntesis i simplificat
]]>#G1
]]>a) Elimina la y igualant els coeficients de la x:
Com que el mcm de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨11px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#233;s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»5«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»:«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnspacing=¨1.4ex¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»multiplica«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»per«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»21«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»12«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»multiplica«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»per«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»7«/mn»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»22«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Ara, resta la 2a equació de la primera (canviant els signes)
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»M«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»M«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>Si ho fas amb la primera:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»a_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»11«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»+«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Punt d'intersecció: igualació |
|
Per igualar, escrivim les dues equacions explícites i igualem per calcular x: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mrow mathcolor=¨#003300¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mi mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»§#8660;«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mi mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mi mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»§#8660;«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mi mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»§#8660;«/mo»«mi mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathsize=¨12px¨ mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mstyle mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨/»«/math» Per calcular y, substituïm x per (-1) en qualsevol de les dues equacions: y = 3·(-1) + 2 = -1 i es tallen en el punt (-1,-1). Si dona 0x=0, són coincidents. Si dona 0x≠0, són paral·leles. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#003300¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«/mstyle»«/math» i «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
Determina per igualació en quin punt es tallen.
Format de la resposta:
a) Escriu l'equació en x que et queda un cop igualat: 3x=15
b) Punt: (-3,5/3) simplificat i amb parèntesis
]]>#G1
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»sol«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«/mstyle»«/math»
I es troba la 1a coordenada del punt.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»11«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>Format de la resposta:
a) Equació obtinguda per igualació = 3x=15
b) Posició relativa =1 si es tallen; 2 si són coincidents i 3 si són paral·leles
c) Punt =(-2,5/3) simplificat i entre parèntesis si existeix, 0(zero) si no es tallen.
]]>#G1
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow mathcolor=¨#007F00¨»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8660;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Es resol el sistema per igualació; s'escriu y = y
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»12«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
I es determina la posició relativa, i el punt(si s'escau) amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»13«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Punt d'intersecció: substitució |
|
Si tenim les equacions paramètriques (o la contínua o la vectorial) podem emprar el mètode de substitució «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨}¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»0«/mn»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»Substituint«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»per«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»les«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»equacions«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»param§#232;triques«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»:«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»(«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»4«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»§#8660;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨ mathsize=¨12px¨»4«/mn»«/math» Substituïm la k en les equacions paramètriques, i trobem el punt d'intersecció (-1,2). Si dona 0k=0, són coincidents. Si dona 0k≠0, són paral·leles. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» i «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«/mstyle»«/math».
Format de la resposta:
a) Valor de k obtingut amb la substitució: k=2/3 (simplificat)
b) Punt de tall: (5/3,-2/3) simplificat i amb parèntesis.
]]>#G1
]]>substitueix x i y en l'equació de s, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«/mstyle»«/math», per trobar el valor de k:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»v«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»51«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»52«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»51«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»0«/mn»«/mstyle»«/math»
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»v«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»51«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»s«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»52«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»51«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»0«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8660;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»6«/mn»«/mstyle»«/math»
trobes el valor de k: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»sol«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Substituint k per aquest valor en les equacions paramètriques, troba les coordenades (abscissa i ordenada) del punt d'intersecció.
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» i «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»?
Format de la resposta:
a) Valor de k =-2/3
b) Punt de tall: (-1/3,5/3), simplificat i amb parèntesis
]]>#G1
]]>Substitueix x i y en l'equació de s, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«/mstyle»«/math», per trobar el valor de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»k«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»k«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Amb aquest valor de k, substituint k en les equacions paramètriques de r, pots trobar les coordenades del punt
]]>
a) Valor de k=-2/3 (simplificat)
b) Punt =(2/3,-1/3) simplificat i entre parèntesis.
]]>#G1
]]>
substitueix x i y en l'equació de s, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»2«/mn»«/mstyle»«/math», per trobar el valor de k = #k1
Substitueix k per aquest valor en les equacions paramètriques de r, i trobaràs les coordenades del punt
]]>
| Millor mètode |
|
Per trobar el punt d'intersecció de 2 rectes secants, pots escollir entre reducció, igualació o substitució. El millor mètode no existeix però cal tenir en compte:
|
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«/mstyle»«/math» i «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
Quina és la seva posició relativa? Si es tallen, determina les coordenades del seu punt d'intersecció)
Format de la resposta: (1,-3/4)_simplificada_si es tallen; C si són coincidents i P si són paral·leles
]]>#G1
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow mathcolor=¨#007F00¨»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8660;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Es resol el sistema per igualació; s'escriu y = y
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»e«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»12«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
També es pot fer amb un altre mètode de resolució
]]>Per trobar la 2a coordenada (ordenada) del punt es pot substituir x en l'equació explícita:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#007F00¨»+«/mo»«mfenced mathcolor=¨#007F00¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Angle entre rectes |
|
L'angle entre dues rectes és el que formen els seus vectors directors (o el seu suplementari, si l'angle és obtús) L'angle entre dos vectors és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mover»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8640;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8640;«/mo»«/mover»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»^«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8640;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8640;«/mo»«/mover»«/mrow»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
a) Troba el vector de r inclòs en l'enunciat
b) Troba el vector de s inclòs en l'enunciat
c) Determina l'angle entre les dues rectes
Format de la resposta:
vector: [1,2]
angle en graus, arrodonit a la unitat:37º
]]>Un vector de s és #vs
L'angle es calcula amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»acos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»pe«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»pm«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
]]>
a) Troba el vector de r inclòs en l'enunciat
b) Troba el vector de s inclòs en l'enunciat
c) Determina l'angle entre les dues rectes
Format de la resposta:
vectors: [1,2]
angle en graus, arrodonit a la unitat: 54º
]]>Un vector de s és #vs
L'angle es calcula amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00066F¨»acos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00066F¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00066F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00066F¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00066F¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#00066F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»pe«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»pm«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
La situació és aquesta: #G1
]]>Un vector de s és #vs
L'angle es calcula amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»acos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»pe«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»pm«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
La situació és aquesta: #G1
]]>angle en graus arrodonit a la unitat: 34º
Un vector de s és #vs
L'angle es calcula amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»acos«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»pe«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»pm«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
La situació és aquesta: #G1
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8801;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«/mstyle»«/math»
Format de la resposta: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«msqrt»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«msqrt»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Per una banda, el cosinus de l'angle que formen les rectes és
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»cosa«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8201;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
per altra banda, el cosinus de 60º és 1/2.
Cal doncs resoldre:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8201;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»11«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»21«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8660;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»11«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»21«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Si elevem els dos membres al quadrat, obtenim una equació de 2n grau:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»12«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»22«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Distància entre dos punts | |
|
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»d«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»A«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»B«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»AB«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/math»
|
 |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»d«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»P«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»Q«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#000066¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»PQ«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«msqrt mathcolor=¨#000066¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Distància d'un punt a una recta | |
|
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»d«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»P«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»ax«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»P«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»by«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»P«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«/math»
|
 |
|
Exemple, amb P(1,2) i r una recta d'equació és 3x-5y+6=0: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»d«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»P«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»r«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mn mathvariant=¨bold¨»4«/mn»«msqrt»«mn mathvariant=¨bold¨»34«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«msqrt»«mn mathvariant=¨bold¨»34«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»17«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»u«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»d«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨».«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
|
|
Si no recordeu l'expressió, la podeu retrobar cercant el punt d'intersecció Q entre la recta r i la recta perpendicular a r que passa per P. Trobat Q, es pot calcular el mòdul del vector PQ |
|
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»d«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»P«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»r«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«msup»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
| Distància entre rectes paral·leles | |
|
Si r≡ax+by+c=0 i S és un punt de s: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»d«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»s«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»r«/mi»«mo mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»ax«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»S«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»by«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»S«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«/math»
|
 |
Després s'aplica l'expressió de la distància d'un punt de l'una R(#p_1,#p_2) a l'altra, s:#e_2:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»d«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»R«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»s«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
| Treure valor absolut | |
|
quan traiem el valor absolut de l'equació |ax+by+c|=d, apareixen dues equacions (i 2 solucions possibles):
|
La bisectriu és el conjunt de punts equidistants
dels dos segments que determinen un angle.
Divideix l'angle
en dos angles iguals.
En el triangle de vèrtex «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»A«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»B«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»C«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», quina és l'equació explícita de la bisectriu de l'angle A?
#G1
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vr«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vr«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vs«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vs«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
i treure els denominadors i el valor absolut
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vr«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vr«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vs«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vs«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8660;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»11«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»12«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#0000FF¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»w«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
I, traient valors absoluts s'obtenen les DUES EQUACIONS
]]>
Una altura és una recta que passa per un vèrtex i que és perpendicular al costat oposat.
Les 3 altures es tallen en l'ortocentre.
En el triangle de vèrtex «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»A«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»B«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»C«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», quina és l'equació explícita de l'altura traçada des del vèrtex A?
L'altura d'un triangle és la recta perpendicular a un costat traçada des del vèrtex oposat.
L'ortocentre és el punt d'intersecció de les altures que corresponen als 3 vèrtex.
En el triangle de vèrtex «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»A«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»B«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»C«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
a) Quina és l'equació explícita de l'altura traçada des del vèrtex A?
b) Quina és l'equació explícita de l'altura traçada des del vèrtex B?
c) Quines són les coordenades de l'ortocentre del triangle? Format (2,3)
]]>
La mitjana és la recta que passa per un vèrtex i el punt mitjà del costat oposat.
Les tres mitjanes es tallen en el baricentre.
En el triangle de vèrtex «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»A«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»B«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»C«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», quina és l'equació explícita de la mitjana traçada des del vèrtex A?
El baricentre és el punt d'intersecció de les 3 mitjanes.
En el triangle de vèrtex «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»A«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»B«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»C«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
a) Calcula l'equació explícita de la mitjana traçada des del vèrtex A
b) Calcula l'equació explícita de la mitjana traçada des del vèrtex B
c) Determina les coordenades del baricentre. Format: (2,3)
]]>
Troba l'equació explícita de la mediatriu del segment AB amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«/mstyle»«/math».
]]>
Primer es determina el punt mitjà de AB, pensant que M és l'extrem d'un vector «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»AM«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mstyle»«/math» tal que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»AM«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»AB«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»vr«/mi»«/mstyle»«/math».
I el punt M que és l'extrem ("extrem=origen+vector) es calcula amb:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»M«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»:«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»vr«/mi»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»vr«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» és director de AB.
Un vector perpendicular a «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»vr«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»vp«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», que és el vector director de la recta demanada.
Tenim el punt, M«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»M«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», i el vector, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»vp«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». Podem trobar l'equació de la recta.
]]>
El circumcentre d'un triangle és el punt d'intersecció de les mediatrius dels 3 costats.
En el triangle ABC amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»A«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»B«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», determina:
a) l'equació explícita de la mediatriu del costat BC
b) l'equació explícita de la mediatriu del costat AC
c) les coordenades del circumcentre Format: (1,-2)
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sol«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»sol«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
]]>a) Determina les coordenades dels punts mitjans dels segments, AB, AC i BC.
b) Una mitjana és una recta que passa per un vèrtex d'un triangle i pel punt mitjà del costat oposat a aquest vèrtex. Troba les equacions de les mitjanes que passen per A per B i per C.
c) El baricentre és el punt on es tallen les mitjanes. Demostra que el baricentre del triangle té per coordenades: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«/msub»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mfrac»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«/msub»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» si xA, yA són les coordenades de A, xB, yB les de B i xC, yC les de C
]]>Un triangle equilàter ABC té dos vèrtex en A(4,6) i B(4,-2).
a) Calcula les coordenades del 3r vèrtex C. Quantes solucions hi ha? Comprova-ho gràficament.
En els apartats següents, fes els càlculs amb el valor arrodonit C(-3,2).
b) Determina l'equació de l'altura traçada des del vèrtex A (recta perpendicular al costat BC que passa per A).
c) Quant mesura l'angle B?
d) Calcula l'àrea del triangle.
]]>
| Paral·lelogram | |
|
Té els costats paral·lels iguals i els angles oposats iguals. Dos angles adjacents sumen 180º. Perímetre:P= suma dels 4 costats. Àrea: S= b· h
Les diagonals D i d es tallen en el seu punt mitjà. |
 |
Escriu les equacions de les rectes que corresponen als costats AB i CD.
Format:
AB= paramètriques {x=k+1,y=k-1}
CD=explícita
]]>La recta és la recta vermella: #G1
]]>La recta és la recta blava que passa per C: #G2
]]>Determina quant mesuren els angles A i B
Format:
A= arrodonit en graus: 25º
B = arrodonit en graus: 25º
]]>Com que es tracta d'un paral·lelogram, l'angle B és l'angle que determinen els dos vectors «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
L'angle és:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mover mathcolor=¨#00007F¨»«mfenced»«mrow»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»^«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
Determina el quart vèrtex D i quant mesuren els angles A i B
Format:
D=(1,2)
A= arrodonit en graus: 25º
B = arrodonit en graus: 25º
]]>El vèrtex D és l'extrem del vector CD que té per origen C i que és equipol·lent al vector BA.
Com que es tracta d'un paral·lelogram, l'angle B és l'angle que determinen els dos vectors «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
L'angle és:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mover mathcolor=¨#00007F¨»«mfenced»«mrow»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»^«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
Determina el quart vèrtex D, quant mesuren els costats CD i BC i quant mesuren els angles A i B
Format:
D=(1,2)
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mi»D«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»B«/mi»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»11«/mn»«/msqrt»«/math»
A= arrodonit en graus: 25º
B = arrodonit en graus: 25º
]]>El vèrtex D és l'extrem del vector CD que té per origen C i que és equipol·lent al vector BA.
Per determinar la longitud dels costats, només cal calcular el mòdul del vector corresponent.
Com que es tracta d'un paral·lelogram, l'angle B és l'angle que determinen els dos vectors «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»i«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mover mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»C«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
L'angle és:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mover mathcolor=¨#00007F¨»«mfenced»«mrow»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»^«/mo»«/mover»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»acos«/mi»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BA«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»§#183;«/mo»«msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»BC«/mi»«msup»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>
Determina el quart vèrtex D i quant mesura la seva àrea S (és base·altura)
Format:
D=(1,2)
S= arrodonida
]]>
El vèrtex D és l'extrem del vector CD que té per origen C i que és equipol·lent al vector BA.
Si la base és AB, l'altura és la distància (en vermell) de D a la recta AB (color cian) i es calcula amb la fórmula de la distància d'un punt a un pla.
]]>
| Simetria respecte a un punt |
|
Si S és el simètric de A respecte a B, S és l'extrem d'un vector doble del vector AB, i les coordenades de S es calculen amb : «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#183;«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»B«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»A«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math» |
#G1
]]>| Punt simètric respecte a una recta |
P és el peu de la projecció ortogonal de A sobre la recta  |
La projecció ortogonal, és el peu de la perpendicular traçada des del punt A fins a la recta r. És un punt. Format (2,3)
]]>
Primer es calcula l'equació de la perpendicular (blava) a la recta r (negra) que passa per A i que té per vector director «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»vp«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» (perpendicular a r).
Quan es té l'equació de la perpendicular, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»r«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» , n'hi ha prou amb resoldre el sistema d'equacions de les dues rectes per a trobar el punt O
]]>
Si O és la projecció ortogonal de A sobre r, el simètric de A respecte a r és el simètric de A respecte a O. És un punt. Format (2,3)
]]>
Primer es calcula l'equació de la perpendicular (blava) a la recta r (negra) que passa per A i que té per vector director «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»vp«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» (perpendicular a r).
Quan es té l'equació de la perpendicular, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»r«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» , n'hi ha prou amb resoldre el sistema d'equacions de les dues rectes per a trobar el punt O.
El simètric S és l'extrem d'un vector AS amb origen a A i de components dobles de les components de AO.
]]>
| Rombe | |
|
Té els 4 costats iguals i els angles oposats iguals. Dos angles adjacents sumen 180º. Perímetre:P= 4c. Àrea: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#7F007F¨»S«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#7F007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#7F007F¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»D«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»d«/mi»«/mrow»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Les diagonals D i d són perpendiculars i es tallen en el seu punt mitjà. |
|
L'equació d'una circumferència de centre C(a,b) i de radi r es calcula amb:
el coeficient de y és -2·#b
el terme independent es calcula amb (#a)2 + (#b)2 - (#r)2
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
identifica a i b amb els coeficients de x i de y.
Després, calcula r ja que a2 + b2 - r2 = #w1
]]>
L'equació es dedueix del fet que un punt qualsevol de la paràbola és equidistant del focus F(xF,yF) i d'una recta r (anomenada directriu) d'equació ax+by+c=0. I per tant es troba igualant:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨|¨ close=¨|¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mover»«mi mathvariant=¨bold¨»XF«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»d«/mi»«mfenced mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»X«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8660;«/mo»«msqrt mathcolor=¨#003300¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»F«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»F«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»ax«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»F«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»by«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨»F«/mi»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
L'equació es dedueix del fet que un punt qualsevol de l'el·lipse és tal que la suma de les seves distàncies als dos focus és constant. Si l'eix major és 2a i l'eix menor és 2b, l'equació d'una el·lipse centrada a l'origen és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Per dibuixar-la, és interessant veure que es pot fer de moltes maneres a la pàgina de Pere Planells
La distància d'un punt qualsevol P(x,y) a la recta d'equació «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»m«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»" src="http://www.insmilaifontanals.cat/moodle/lib/editor/tinymce/plugins/tiny_mce_wiris/tinymce/integration/showimage.php?formula=d8b7c64b9b656d9760172084baaf3535&cw=72&ch=10&cb=9" style="vertical-align: -1px;"/> es calcula amb «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»m«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mstyle»«/math»" src="http://www.insmilaifontanals.cat/moodle/lib/editor/tinymce/plugins/tiny_mce_wiris/tinymce/integration/showimage.php?formula=d9f2d440459548d4b453aa6281776b84&cw=47&ch=32&cb=18" style="vertical-align: -14px;"/>
S'igualen les dues expressions i s'eleva al quadrat per treure l'arrel.
]]>| Límits a l'infinit | |
| Polinomi: El límit és el mateix que el del terme de grau més alt |
Fracció algèbrica amb numerador de grau superior: |
|
Fracció algèbrica amb numerador de grau inferior: |
Fracció algèbrica amb numerador i denominador de mateix grau: |
Quina és la fracció irreductible que correspon a aquesta funció si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»v«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»?
]]>Les arrels dels numerador i del denominador permeten retrobar els polinomis.
]]>| Indeterminacions a l'infinit (0/0, ∞/∞, ∞-∞, ...) |
| Fraccions: Cal transformar-les en una fracció única (sumant, restant ...) |
| Arrels Cal multiplicar i dividir pel conjugat |
#w1 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»a_n«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>El producte és «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»a_n«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»L«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«munder mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_n«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c_n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«munder mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_n«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c_n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_n«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c_n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b_n«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»c_n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»L«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»=«/mo»«munder mathcolor=¨#000066¨»«mi mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac mathcolor=¨#000066¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»n«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»d«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Límit en un punt: es calcula substituint x pel valor indicat |
| Indeterminacions amb fraccions: pot ser útil simplificar la fracció |
| Indeterminacions amb arrels: pot ser útil multiplicar i dividir pel conjugat |
Si simplifiques, el límit demanat és el mateix que el límit de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#000066¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»a«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»_«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#000066¨»n«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Límit de funcions exponencials |
|
Si una funció exponencial presenta una indeterminació del tipus 1+oo es resol amb l'expressió
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»e«/mi»«mrow»«munder»«mi mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msup»«/math»
Atenció:
|
Només depèn de si la base de l'exponencial és més petita o més gran que 1.
| Límits laterals |
| Es calculen com els límits en un punt. Sovint cal estudiar el signe de l'expressió per determinar el signe del límit. |
a) La funció està definida en x = #a (S/N)?
b) el límit de la funció quan x tendeix a #a- és
c) el límit de la funció quan x tendeix a #a+ és
d) la discontinuïtat de la funció és: Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica, segons el cas.
Si la fracció és simplificable, la discontinuïtat pot ser evitable
La funció està definida en x = #a (SI/NO)? {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#3}
La discontinuïtat de la funció és {#4} Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica, segons el cas.
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#2}
La discontinuïtat de la funció {#3} Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica, segons el cas.
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és #l_1;
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és #l_2.
]]>
La funció està definida en x = #a (SI/NO)? {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#3}
La discontinuïtat de la funció és {#4} Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica, segons el cas.
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#2}
La discontinuïtat de la funció {#3} Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica, segons el cas.
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és #l_1;
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és #l_2.
]]>
c) El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és
d) La discontinuïtat de la funció és Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit i 4 per asimptòtica, segons el cas.
calcula els límits laterals en #a per determinar si són infinits (discontinuïtat asímptòtica) o si són del tipus 0/0, simplificables i donen lloc a un límit finit (discontinuïtat evitable).
El límit quan x tendeix a #a- és #sol2
El límit quan x tendeix a #a+ és #sol3
Com que els límits són #w1, la discontinuïtat #w2.
]]>
a) La funció està definida en x = #a (S/N)?
b) El límit de la funció quan x tendeix a #a- és
c) El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és
d) La discontinuïtat de la funció és Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit i 4 per asimptòtica, segons el cas.
calcula els límits laterals en #a per determinar si són infinits (discontinuïtat asímptòtica) o si són del tipus 0/0, simplificables i donen lloc a un límit finit (discontinuïtat evitable).
El límit quan x tendeix a #a- és #sol2
El límit quan x tendeix a #a+ és #sol3
Com que els límits són #w1, la discontinuïtat #w2.
]]>
La funció està definida en x = #a (SI/NO)? {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#3}
La discontinuïtat de la funció és {#4} Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit i 4 per asimptòtica, segons el cas.
calculem els límits laterals en #a per determinar si són infinits (discontinuïtat asímptòtica) o si són del tipus 0/0, simplificables i donen lloc a un límit finit (discontinuïtat evitable).
El límit quan x tendeix a #a- és #l_1
El límit quan x tendeix a #a+ és #l_2
Com que els límits són #w1, la discontinuïtat #w2.
]]>
La funció està definida en x = #a (SI/NO)? {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#3}
La discontinuïtat de la funció és {#4} Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit i 4 per asimptòtica, segons el cas.
calculem els límits laterals en #a per determinar si són infinits (discontinuïtat asímptòtica) o si són del tipus 0/0, simplificables i donen lloc a un límit finit (discontinuïtat evitable).
El límit quan x tendeix a #a- és #l_1
El límit quan x tendeix a #a+ és #l_2
Com que els límits són #w1, la discontinuïtat #w2.
]]>
La funció està definida en x = #a (SI/NO)? {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#3}
La discontinuïtat de la funció és {#4} Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica, segons el cas.
La funció està definida en x = #a (SI/NO)? {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#3}
La discontinuïtat de la funció és {#4} Escriu: 1 per evitable, 2 per inexistent, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica, segons el cas.
a) La funció està definida en x = #a (S/N)?
b) Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c) Calcula«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d) La funció: 1 per "és contínua" 2 per "presenta una discontinuïtat de salt finit", 3 per asimptòtica, 4 per discontinuïtat evitable
Si hi ha una discontinuïtat és en el punt on acaba la primera funció i on comença la segona, o sigui quan x = #a.
Com que estan definides sempre cal comprovar si els límits laterals coincideixen amb la imatge
]]>
Format de resposta per la discontinuïtat: 1 si és contínua, 2 per evitable, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica
a) La funció està definida en x = #a (S/N)?
b) Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c) Calcula«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mstyle»«/math»
d) La funció:
Format de resposta per la discontinuïtat: 1 si és contínua, 2 per evitable, 3 per de salt finit, 4 per asimptòtica.
a) La funció està definida en x = #a (S/N)?
b) Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c) Calcula«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mstyle»«/math»
d) Classifica la discontinuïtat de la funció
La funció està definida en x = #a? {#1}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» {#2}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» {#3}
La discontinuïtat de la funció {#4}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnspacing=¨1.4ex¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»si«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8804;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f_«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»si«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§gt;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Format de la resposta: -5/4
ja que la funció està definida en x =#a,
i és contínua en (-∞,#a] i (#a,+∞) i ho pot ser en x = #a
La funció està definida en x = #a? {#1}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» {#2}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» {#3}
La discontinuïtat de la funció {#4}
La funció està definida en x = #a? {#1}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» {#2}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» {#3}
La discontinuïtat de la funció {#4}
En x = #d:
La funció està definida en x = #d? {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #d- és {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #d+ és {#3}
La discontinuïtat de la funció {#4}
En x = #a
La funció està definida en x = #a? {#5}
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és{#6}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#7}
La discontinuïtat de la funció {#8}
EN x = #a
Calculem el límit de #g_1 quan x tendeix a #a- ja que, en #a+, f(x) = #g_2 que té imatge en #a.
Calculem f(#a) amb la funció #g_2 que és contínua en [#a,+oo) ja que és polinòmica.
La funció està definida en x = #a? {#1}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8201;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» {#2}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»lim«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» {#3}
La discontinuïtat de la funció {#4}
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnspacing=¨1.4ex¨ columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»si«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8804;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨bold¨»si«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#62;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
Format de la resposta: -5/4
Si és contínua en x = #a, cal que els límits laterals de les dues funcions siguin iguals a la imatge de la funció.
En x = a, la funció que permet calcular la imatge és #f1
Aquesta imatge ha de ser igual al límit de l'altra funció (#f2) que només funciona per x>#a per tant el límit s'ha de calcular a #a+
]]>
En x = #d:
La funció està definida en x = #d? {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #d- és {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #d+ és {#3}
La discontinuïtat de la funció {#4}
En x = #a
La funció està definida en x = #a? {#5}
El límit de la funció quan x tendeix a #a- és{#6}
El límit de la funció quan x tendeix a #a+ és {#7}
La discontinuïtat de la funció {#8}
EN x = #a
Calculem el límit de #g_1 quan x tendeix a #a- ja que, en #a+, f(x) = #g_2 que té imatge en #a.
Calculem f(#a) amb la funció #g_2 que és contínua en [#a,+oo) ja que és polinòmica.
b) Determina el límit de la funció als infinits
c) Determina el límit de la funció quan x tendeix a #d-
d) El límit de la funció quan x tendeix a #d+
e) Determina l'equació de l'asímptota horitzontal
f) Determina l'equació de l'asímptota vertical
b) Determina les equacions de les asímptotes horitzontals
c) Determina les equacions de les asímptotes verticals
Format de les equacions {y=-1,y=2}
a) Asímptotes horitzontals
b) Asímptotes verticals
Format de les equacions: {x=1,x=2}
a) Asímptotes horitzontals
b) Asímptotes verticals
Format de les equacions: {x=1,x=2}
Per l'asímptota vertical, com que #sol2 és l'arrel del denominador, calculem el límit de la funció quan #sol2 per comprovar si és infinit.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
es calculen les asímptotes i la derivada en #c per trobar a, b, i x2.
]]>
Format: -i per -∞, i per +∞
Els límits de la funció als infinits són {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #d- és: {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #d+ és: {#3}
Equació de l'asímptota horitzontal: {#4}
Equació de l'asímptota vertical: {#5}
]]>
Els límits de la funció als infinits són {#1}
El límit de la funció quan x tendeix a #d_1- és: {#2}
El límit de la funció quan x tendeix a #d_1+ és: {#3}
El límit de la funció quan x tendeix a #d_2- és: {#4}
El límit de la funció quan x tendeix a #d_2+ és: {#5}
Asímptota horitzontal: {#6}
Primera asímptota vertical: {#7}
Segona asímptota vertical: {#8}
Asímptota horitzontal: {#1}
Primera asímptota vertical: {#2}
Segona asímptota vertical: {#3}
La representació de la funció és:
La representació de la funció és:
Format de les respostes: arrel o fracció: 3 arrel de 2 s'escriu 3*sqrt(2)
| x | f(x)=sinx |
| 0 | {#1} |
| π/6 |
{#2} |
| π/4 | {#3} |
| π/3 |
{#4} |
| π/2 | {#5} |
| π |
{#6} |
| x | g(x)=cosx |
| 0 | {#7} |
| π/6 |
{#8} |
| π/4 | {#9} |
| π/3 | {#10} |
| π/2 | {#11} |
| π | {#12} |
| x | h(x)=tgx |
| 0 | {#13} |
| π/6 |
{#14} |
| π/4 | {#15} |
| π/3 | {#16} |
| π/2 | {#17} |
| π | {#18} |
]]>
#g1, #g2, #g3
]]>#graph |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«/math»#f
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«/math»#g
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«/math»#h
|
| Taxa de variació mitjana |
|
La taxa de variació mitjana TVM d'una funció entre els punts d'abscissa a i b es calcular amb:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold-italic¨ mathcolor=¨#003300¨»T«/mi»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»VM«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#8201;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
i constata si la funció és creixent o decreixent en tots els punts de l'interval o no.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»TVM«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
]]>y = TVM · (x - a) + b on b = f(a)
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»sol«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>i constata si la funció és creixent o decreixent en tots els punts de l'interval o no.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»TVM«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
]]>y = TVM · (x - a) + b on b = f(a)
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»sol«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>i constata si la funció és creixent o decreixent en tots els punts de l'interval o no.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»TVM«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mfrac mathcolor=¨#00007F¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
]]>y = TVM · (x - a) + b on b = f(a)
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨12px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»sol«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#183;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»p«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»(«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»q«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»1«/mn»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#00007F¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
]]>| Derivada en un punt |
|
La derivada de la funció f(x) en el punt d'abscissa xo es calcula amb:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mi»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
i és el pendent de la recta tangent en aquest punt. |
Calcula el pendent de la recta tangent en x=#a.
| Derivabilitat d'una funció |
Una funció és derivable en el punt d'abscissa x0 si i només si les derivades laterals existeixen i són iguals:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mo largeop=¨true¨ mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mo»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«munder mathcolor=¨#003300¨»«mo largeop=¨true¨ mathvariant=¨bold¨»l§#237;m«/mo»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8594;«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»h«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
que també es pot escriure f'-(x) = f'+(x)
|
]]>
Nota: si la solució és a=3 i b=4, has d'introduir {3,4}.
contínua i derivable en un punt s si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»f«/mi»«mo»+«/mo»«/msub»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msub»«mi»f«/mi»«mo»-«/mo»«/msub»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«/math».
Determina per quins valors de a i b, la funció és contínua i derivable en tots els nombres reals.
Setembre 2005 MA
Format: {{a=2,b=3},{a=-1,b=-2}}
]]>
Troba els valors dels paràmetres a i b per tal que la funció sigui contínua i derivable en x = #s.
Juny 2008MA
Format: {{a=2,b=3}}
]]>
| Equació de la recta tangent i de la recta perpendicular |
L'equació de la recta tangent en el punt d'abscissa x0 es calcula amb:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#003300¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
L'equació de la recta perpendicular en el punt d'abscissa x0 es calcula amb:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«mfrac mathcolor=¨#003300¨»«mn mathvariant=¨bold¨»1«/mn»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#003300¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
Calculem f'(#x0) = #df0 i f(#x0) = #f0
El gràfic és #g1.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
Calculem f'(#x0) = #df0 i f(#x0) = #f0
y = #df0 (#w0) + (#f0)
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
Calculem f'(#x0) = #df0 i f(#x0) = #f0
El gràfic és #g1.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
Calculem f'(#x0) = #df0 i f(#x0) = #f0
y = #df0 (#w0) + (#f0)
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
Calculo f'(#x0) = #df0 i f(#x0) = #f0
El gràfic és #g1.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
Calculem f'(#x0) = #df0 i f(#x0) = #f0
y = #df0 (#w0) + (#f0)
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
Calculem f'(#x0) = #df0 i f(#x0) = #f0
El gràfic és #g1.
]]>«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»=«/mo»«mfenced mathcolor=¨#FF0000¨ open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨»-«/mo»«msub»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»(«/mo»«msub mathcolor=¨#0000FF¨»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»x«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨»0«/mn»«/msub»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»)«/mo»«/math»
Calculem f'(#x0) = #df0 i f(#x0) = #f0
y = #df0 (#w0) + (#f0)
]]>
Format de la resposta: {[2/3,-5],[3/4,1/4]}
Format de la resposta: {[2/3,-5],[3/4,1/4]}
Format de la resposta: {[2/3,-5],[3/4,1/4]}
Format de la resposta: {[2/3,-5],[3/4,1/4]}
Format de la resposta: {[2/3,-5],[3/4,1/4]}
Format de la resposta: {[2/3,-5],[3/4,1/4]}
]]>
]]>| Monotonia i concavitat |
|
f'(x)>0 → f(x) creixent; f'(x)<0 → f(x) decreixent |
|
f''(x) > 0 → f(x) convexa; f''(x) < 0 → f(x) còncava |
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>La funció és creixent quan la derivada és positiva
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>La funció és creixent quan la derivada és positiva
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>]]>
El denominador és positiu en el domini. El signe de la derivada depèn exclusivament del numerador:
Si no té solució, té el signe de a
Si té solucions, té el signe contrari de a entre les solucions...
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>]]>
El denominador és positiu en el domini. El signe de la derivada depèn exclusivament del numerador:
Si no té solució, té el signe de a
Si té solucions, té el signe contrari de a entre les solucions...
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>]]>
El denominador és positiu en el domini. El signe de la derivada depèn exclusivament del numerador de 2n grau:
Si no té solució, té el signe de a
Si té solucions, té el signe contrari de a entre les solucions...
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>EN EL DOMINI, la funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent en cas contrari.
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>EN EL DOMINI, la funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan és negativa.
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>EN EL DOMINI, la funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan és negativa.
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>Cal estudiar el signe de la derivada:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#191919¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#191919¨»d«/mi»«mn mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#191919¨»1«/mn»«/math»; s'ha simplificat per (#a)
El signe de f'(x) depèn exclusivament del numerador.
EN EL DOMINI, la funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan f'(x) és negativa.
]]>
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>El signe de f'(x) depèn exclusivament del numerador.
EN EL DOMINI, la funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan f'(x) és negativa.
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>EN EL DOMINI, la funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan f'(x) és negativa.
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>Com que una exponencial és sempre positiva, el signe de f'(x) depèn exclusivament del polinomi #d2
La funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan f'(x) és negativa.
]]>| Derivades i extrems |
|
màxim per f(x): f'(x) = 0 i passa de + a - (o f'(x) = 0 i f''(x) < 0). mínim per f(x): f'(x) = 0 i passa de - a + (o f'(x) = 0 i f''(x) > 0) |
|
f''(x) = 0 i canvia de signe → Inflexió per f(x) (o f''(x) = 0 i l'ordre de la primera derivada que no s'anul·la és imparell) |
#g1
se'n dedueix que:
]]>#G1.
Determina l'abscissa dels seus extrems relatius
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
Abscisses: 3
]]>#G2
]]>Té extrems quan la derivada s'anul·la i canvia de signe
]]>Extrem=[3/4,1/4]
Tipus(M/m)=m
]]>
| x | -∞ | #s1 | +∞ |
| #d1 | #w1 | 0 | #w2 |
Per això la funció presenta un #z1
El gràfic és #D
]]>
| x | -∞ | #s1 | +∞ |
| #d1 | #w1 | 0 | #w2 |
Extrems={[1,2/3],[-2,3]}
Tipus={M,m} en el mateix ordre: M,m si 1 correspon a un màxim i -2 a un mínim
]]>
| x | -∞ | #s1 | #s2 | +∞ | |
| #d1 | #w1 | 0 | #w2 | 0 | #w3 |
El gràfic és #D
]]>
| x | -∞ | #s1 | #s2 | +∞ | |
| #d1 | #w1 | 0 | #w2 | 0 | #w3 |
Extrems={[1,2],[21],[5,2]}
Tipus={m,m,M} si x=1 i x=2 corresponen a mínims i x=5 correspon a un màxim
]]>El gràfic és #D
]]>El gràfic és #D
]]>
Classifica'ls (m per mínim i M per màxim)
Format:
Extrems={[1,3/3],[2,5]}
Tipus={M,m} si x=1 correspon a un màxim i x=2 correspon a un mínim.
]]>El gràfic és #D
]]>El gràfic és #D
]]>Classifica'ls (m per mínim i M per màxim)
Format:
Extrems={[1,3/3],[2,5]}
Tipus={M,m} si x=1 correspon a un màxim i x=2 correspon a un mínim
]]>El gràfic és #D
]]>El gràfic és #D
]]>Classifica'ls (m per mínim i M per màxim)
Format:
Abscissa={1/3,2}
Tipus={M,m} si x=1/3 és un màxim i x=2 correspon a un mínim
]]>La derivada és #i.
El gràfic és #D
]]>La derivada és #i.
El gràfic és D
]]>Classifica'ls (m per mínim i M per màxim)en el mateix ordre.
Format:
Abscisses dels extrems={3,5}
Tipus={M,m}
]]>El gràfic de la funció és #D
]]>El gràfic de la funció és #D
]]>
Format: (1,2)
La derivada primera és #d1
]]>Troba els seus extrems relatius, si s'escau
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
Format dels extrems: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»
]]>]]>
El denominador és positiu en el domini. El signe de la derivada depèn exclusivament del numerador:
Si no té solució, té el signe de a
Si té solucions, té el signe contrari de a entre les solucions...
Determina els seus extrems relatius, i el seu punt d'inflexió
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
Format pels extrems «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math» i del punt d'inflexió: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math»
]]>La funció és creixent quan la derivada és positiva.
Pels extrems, cal que la derivada s'anul·li i canviï de signe (de positiva a negativa en un màxim, i viceversa en un mínim).
Pel punt d'inflexió, és la derivada segona f''(x) = #d2 que s'ha d'anul·lar i canviar de signe.
]]>Determina els seus extrems i punts d'inflexió
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
Format dels extrems: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Format dels punts d'inflexió: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»
]]>La funció és creixent quan la derivada és positiva
]]>Format: {(1,2);(3,4)}
Si la funció presenta un punt d'inflexió:
Resolent el sistema de 4 equacions, es calculen a, b, c i d.
]]>Si la funció presenta un punt d'inflexió:
Resolent el sistema de 4 equacions, es calculen a, b, c i d.
]]>| x | -oo | {#2} | {#3} |
+oo |
|
| f' | {#4} | {#5} | {#6} | {#7} | {#8} |
| creixement | {#9} | {#10} |
{#11} | {#12} | {#13} |
| x | -oo | {#3} |
+oo |
| f'' | {#4} | {#5} | {#6} |
| concavitat | {#7} | {#8} |
| x | -oo | {#3} | {#4} |
{#5} |
+oo |
||
| f'' | {#6} | {#7} | {#8} | {#9} | {#10} | ||
| concavitat | {#11} | {#12} | {#13} | {#14} | |||
| f' | {#15} | {#16} | {#17} | {#18} | {#19} | {#20} | |
| creixement | {#21} | {#22} |
{#23} | {#24} | {#25} | {#26} | {#27} |
| x | -oo | {#2} | {#3} | {#4} |
+oo |
||
| f'' | {#5} | {#6} | {#7} | {#8} | {#9} | {#10} | |
| concavitat | {#11} | {#12} | {#13} | {#14} | |||
| f' | {#15} | {#16} | {#17} | {#18} | {#19} | {#20} | |
| creixement | {#21} | {#22} |
{#23} | {#24} | {#25} | {#26} | {#27} |
| x | -oo | {#3} | {#4} | +oo |
|
| f'' | {#5} | {#6} | {#7} | {#8} | {#9} |
| concavitat | {#10} | {#11} | {#12} |
| x | -oo | {#3} | {#4} | {#5} |
+oo |
||
| f'' | {#6} | {#7} | {#8} | {#9} | {#10} | {#11} | |
| concavitat | {#12} | {#13} | {#14} | {#15} | |||
| f' | {#16} | {#17} | {#18} | {#19} | {#20} | {#21} | |
| creixement | {#22} | {#23} |
{#24} | {#25} | {#26} | {#27} | {#28} |
| x | -oo | {#1} | +oo |
| f'' | {#2} | {#3} | |
| concavitat | {#4} | {#5} | |
| f' | {#6} | {#7} | |
| f: creixement | {#8} | {#9} |
1) La seva derivada és
f'(x) = {#1}
2) La seva taula de variacions és
| x | -oo | {#2} | {#3} |
+oo |
|
| f' | {#4} | {#5} | {#6} | {#7} | {#8} |
| creixement | {#9} | {#10} |
{#11} | {#12} | {#13} |
3) Els seus punts d'intersecció amb els eixos són:
(0, {#14} )
i (ordenats) ( {#15} ,0), ({#16},0), ({#17},0)
4) Dibuixa la funció i compara-la amb el gràfic solució
| Estudi i representació d'una funció |
|
1. Domini
Cal tenir en compte si té denominadors, arrels, tangents, logaritmes o exponencials. 2. Límits i asímptotes: Es calculen els límits a les vores obertes del domini, i s'esbrina si corresponen a asímptotes horitzontals, verticals o obliqües. 3. Derivades Es calcula la derivada primera (i si cal, la segona). Es calculen les seves arrels i es fa la seva taula de signes. 4. Taula de variacions Es centralitza tota la informació:
Se'n dedueix la monotonia, els extrems, i (si s'escau) la concavitat i punts d'inflexió. Es comprova que "quadri" quan s'afegeixen els límits. 5. Punts de tall amb els eixos Es calculen amb x = 0 i f(x) = 0, si és que aquests valors són possibles. 6. Gràfic Es col·loquen les asímptotes, tots els punts disponibles. Si cal es calcula algun punt més i es fa un esquema senzill de la funció.
|
a) Escriu els seus intervals de creixement. Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
b) Escriu els seus intervals de decreixement.
c) Determina els seus extrems relatius {(1,2),(3,4)}
d) Determina el seus punts d'inflexió {(1,2),(3,4)}
e) Dibuixa la funció i compara-la amb la solució
]]>
La funció és creixent quan la derivada és positiva
]]>a) Escriu els seus intervals de creixement. Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
b) Escriu els seus intervals de decreixement.
c) Determina els seus extrems relatius {(1,2),(3,4)}
d) Determina el seus punts d'inflexió {(1,2),(3,4)}
e) Dibuixa la funció i compara-la amb la solució
]]>
La funció és creixent quan la derivada és positiva
]]>a) Escriu els seus intervals de creixement. Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
b) Escriu els seus intervals de decreixement.
c) Determina les seves asímptotes {x=2,y=2}
d) Determina el seus punts de tall amb els eixos {(1,2),(3,4)}
e) Dibuixa la funció i compara-la amb la que et surti quan comprovis
]]>
]]>
La funció és creixent quan la derivada és positiva
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>]]>
El denominador és positiu en el domini. El signe de la derivada depèn exclusivament del numerador:
Si no té solució, té el signe de a
Si té solucions, té el signe contrari de a entre les solucions...
a) Escriu els seus intervals de creixement. Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
b) Escriu els seus intervals de decreixement.
c) Determina les seves asímptotes {x=2,y=2}
d) Determina el seus punts de tall amb els eixos {(1,2),(3,4)}
e) Dibuixa la funció i compara-la amb la solució.
]]>
]]>
El denominador és positiu en el domini. El signe de la derivada depèn exclusivament del numerador:
Si no té solució, té el signe de a
Si té solucions, té el signe contrari de a entre les solucions...
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>]]>
El denominador és positiu en el domini. El signe de la derivada depèn exclusivament del numerador de 2n grau:
Si no té solució, té el signe de a
Si té solucions, té el signe contrari de a entre les solucions...
Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>EN EL DOMINI, la funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan és negativa.
]]>a) Escriu els seus intervals de creixement. Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
b) Escriu els seus intervals de decreixement.
c) Determina les seves asímptotes {x=2,y=2}
d) Determina l'abscissa del seu extrem 3/4
e) Dibuixa la funció i compara-la amb la solució
]]>
El signe de f'(x) depèn exclusivament del numerador.
EN EL DOMINI, la funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan f'(x) és negativa.
]]>Format: Si un dels intervals és buit, escriu «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8709;«/mo»«/math»
]]>Com que una exponencial és sempre positiva, el signe de f'(x) depèn exclusivament del polinomi #d2
La funció és creixent quan la derivada és positiva i decreixent quan f'(x) és negativa.
]]>La funció que dona els costos de l'empresa diaris en funció del nombre de productes produïts és:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»f«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»,«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»)«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»a«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»P«/mi»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»+«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»(«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»b«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»-«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#003300¨»Q«/mi»«msup mathcolor=¨#003300¨»«mo mathvariant=¨bold¨»)«/mo»«mn mathvariant=¨bold¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Mantenint la mateixa producció, quines quantitats de A i de B cal fabricar per tal que els costos siguin mínims.
]]>
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced close=¨¨ open=¨{¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p_1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#p_2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»·«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d_1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#d_2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»·«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Aïllant p o d es pot respondre als apartats a i b.
]]>
#a = x ·altura «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#8660;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»altura«/mi»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»=«/mo»«mo mathvariant=¨bold¨ mathcolor=¨#0000FF¨»§#160;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#0000FF¨»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»#«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»a«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»x«/mi»«/mfrac»«/math»
La funció a optimitzar és doncs: #A
Ara cal aïllar y, emprant el teorema de Pitàgores
]]>Se'n pot deduir la relació entre x i y: y = #c · (#b - x)
La funció a optimitzar és doncs: #A
