PROBLEMA DEL CLIMA PARA DOS ESTADOS: SOLEADO Y NUBLADO

En un pueblo, el  #p  de los días soleados, le siguen días soleados y el #t de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información, modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov definiendo la matriz de transición. 

El grafo asociado se puede generalizar de la forma:

Calcula la matriz de transición en el estado n=#n. 

La matriz de transición es:  M= #M.

La matriz de transición para la etapa #n-ésima es:   «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«/math»{#1}

EL PROBLEMA DE LA PARTICIPACIÓN DE MERCADO

Una empresa está considerando utilizar una Cadena de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas A, B y C de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes.

Utilizando probabilidad condicionada se puede expresar la primera fila de la tabla de la siguiente manera:

P(A/A)=#a              P(B/A)=#d            P(C/A)=#j   de forma semejante se expresarán las filas 2º y 3º

Si en la actualidad la participación de mercado es de #g para A y  #h para B, ¿Cuál será la matriz de transición de las participaciones de mercado?

La matriz de transición es:   M = #M

Calcula, además:

a) La potencia #n de la matriz M:  

  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector que representa las condiciones para ese estado #n :

V = {#2}

c) El vector de estabilidad es  W = {#3}

EL PROBLEMA DE LA UBICACIÓN DE LAS FAMILIAS

Cada familia española se clasifica, según donde vive, como Urbana (U), Rural (R) o Suburbana (S).

Durante un año específico, un #j de las familias urbanas se mudaron a una ubicación suburbana, y un #d se mudaron a un área rural; también, #c de las familias suburbanas se trasladaron a un área urbana y #f se pasaron a una ubicación rural; por último, #b de las familias rurales se fueron a un área urbana y #k se cambiaron a un lugar suburbano.

Podemos modelar esta situación en la siguiente matriz de transición M = #M

Calcula: 

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

c) El vector de estabilidad es  W = {#2}

EL PROBLEMA DE LAS GRANJAS

Las granjas de cierta región pueden clasificarse en tres tipos: agrícolas (L), pecuarias (P) o mixtas (M). Actualmente #g son agrícolas, #h pecuarias y el resto mixtas. Las probabilidades de transición de un año al siguiente son:

 M = #M 

Donde la primera fila representa las probabilidades de L, P y M (en este orden de las columnas) para el año siguiente, sabiendo que actualmente es Agrícola. La segunda fila representa las probabilidades de L, P y M para el año siguiente, sabiendo que actualmente es Pecuaria y la tercera fila representa las probabilidades anteriores pero conociendo que actualmente es Mixta. 

Calcula:

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector que representa las condiciones para ese estado #n es  V = {#2}

c) El vector de estabilidad es  W = {#3}

PROBLEMA DE LOS ESTADOS DE UN PACIENTE DE UN HOSPITAL

En un hospital, cada paciente es clasificado de acuerdo a tres estados: crítico (C), serio (S) o estable (E). Estas clasificaciones son actualizadas cada mañana por un médico internista, teniendo en cuenta la evaluación experimentada por cada paciente. Las probabilidades con las que cada paciente se mueve de un estado a otro se resume mediante la siguiente matriz de transición:

 M = #M 

Esta situación se puede modelar con el siguiente grafo:

Las componentes de la matriz M se corresponden con el grafo de la siguiente manera:

   a₁₁  = P(C/C)=#a             a₁₂  = P(S/C)=#d                    a₁₃ = P(E/C)=#j

   a₂₁  = P(C/S)=#b              a₂₂= P(S/S)= #e                   a₂₃ = P(E/S)=#k

   a₃₁  = P(C/E)=#c              a₃₁=P(S/E)= #f                     a₃₃=P(E/E)=#l

Calcula:

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector de estabilidad es  W = {#2}

PROBLEMA DE LOS PARTIDOS POLÍTICOS

En cierto país hay tres partidos políticos principales, el liberal (L), el conservador (C), y el demócrata  (D). La matriz de transición siguiente da las probabilidades de que la nación sea controlada por cada uno de los tres partidos políticos después de una elección, conocidas las diversas posibilidades del resultado de la elección anterior:

 M = #M

La primera fila de la matriz representa las siguientes probabilidades:

1º columna: P(L/L)=#a         2º columna:   P(C/L)=#d        3º columna:  P(D/L)=#j 

La segunda fila representa:

1º columna: P(L/C)=#b         2º columna:   P(C/C)=#e        3º columna:  P(D/C)=#k

La tercera fila representa:

1º columna: P(L/D)=#c         2º columna:    P(C/D)=#f        3º  columna:  P(D/D)=#l

Conocemos, además, las condiciones iniciales o porcentajes de distribución de los tres partidos en el día de hoy:   V = #v ,

Calcula:

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector que representa las condiciones para ese estado #n es  U = {#2}

c) El vector de estabilidad es  W = {#3}

EL PROBLEMA DE LOS SUPERMERCADOS

En un pueblo hay tres supermercados { S₁, S₂, S₃ } existe la movilidad de un cliente de uno a otro.

Este mes, el  #g de los clientes va al S₁,  #h al S₂ y el resto al S₃

Cada mes el S₁ retiene el  #a de sus clientes y pierde el #d que se va al S₂

Se averiguó que el S₂ solo retiene el #e y pierde el #b que se va al S₁ y el resto se va a s₃ .

El S₃  pierde el #c  que va al S₁ y el #f  que va al S₂.

Dada la matriz de transición M = #M y el vector de condiciones iniciales V = #v , calcula:

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector que representa las condiciones para ese estado #n es  U = {#2}

c) El vector de estabilidad es  W = {#3}

EL PROBLEMA DEL AGENTE DE SEGUROS

Un agente de seguros realiza su trabajo en tres ciudades A, B, C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de que al día siguiente tenga que desplazarse a B es de #f y la de tener que ir a A es #c. Si el agente duerme un día en B, con probabilidad de  #e tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente e irá a A con probabilidad de #b.

Por último si el agente de seguros trabaja todo el día en A , permanecerá en esta ciudad, al día siguiente, con una probabilidad de #a, e irá a B con probabilidad #d. 

Dada la matriz de transición M = #M y el vector de condiciones iniciales V = #v , calcula:

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector que representa las condiciones para ese estado #n es  U = {#2}

c) El vector de estabilidad es  W = {#3}

PROBLEMA DEL CLIMA

La variación del tiempo de un día a otro se supone que forma una cadena de Markov con la matriz de transición y vector de condiciones iniciales siguiente: 

Matriz de transición M = #M 

Vector de condiciones iniciales V = #v 

Donde los estados posibles son S (Soleado), N (nublado) y LL ( LLuvioso). Cada fila de la matriz de transición representa: 

1º fila: 

P(S/S)=#a   Probabilidad de que mañana haga sol suponiendo que hoy hace sol   

P(N/S)=#d  Probabilidad de que mañana haga nublado, suponiendo que hoy hace sol  

P(LL/S)=#j  Probabilidad de que mañana llueva, suponiendo que hoy hace sol  

2º fila:

P(S/N)=#b      P(N/N)=#e      P(LL/N)=#k

3º fila  

P(S/LL)=#c     P(N/LL)=#f     P(LL/LL)=#l

Calcula:

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector que representa las condiciones para ese estado #n es  U = {#2}

c) El vector de estabilidad es  W = {#3}

Dada la matriz de transición M = #M y el vector de condiciones iniciales V = #v , calcula:

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector que representa las condiciones para ese estado #n es  U = {#2}

c) El vector de estabilidad es  W = {#3}

Dada la matriz de transición M = #M y el vector de condiciones iniciales V = #v , calcula:

a) La potencia #n de la matriz M es  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»={#1}

b) El vector que representa las condiciones para ese estado #n es  U = {#2}

c) El vector de estabilidad es  W = {#3}

SIN FRACCIONES

Sea la matriz de Markov #A.

Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«/math»{#1}

SIN FRACCIONES

Sea la matriz de Markov #A.

Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«/math»{#1}

Sea la matriz de Markov #M.

Calcula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»M«/mi»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«/math»{#1}