Exemplo: Considerando-se a função $\mathbf{v}=(x-y)\mathbf{i}+(x+y)\mathbf{j}$

Digite as linhas a seguir no "prompt" do MATLAB:

[x,y] = meshgrid(-10:2:10, -10:2:10);
Vx=(x-y);
Vy=(x+y);
quiver(x,y,Vx,Vy);
xlim([-10 10]);
ylim([-10 10]);

A função "rank" fornece uma estimativa do número de linhas ou colunas linearmente independentes de uma matriz completa.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#913;«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»k«/mi»«mo»(«/mo»«mi»A«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

Portanto, os vetores (#a, #b, #c) (#d, #e, #f) (#g, #h, #i) pode representar #sol2. 

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»t«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»§#913;«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»r«/mi»«mo».«/mo»«/math».

 Portanto, os vetores (#a, #b, #c) (#d, #e, #f) (#g, #h, #i) #certo

Para que isso seja verdadeiro, é necessário que esses vetores sejam linearmente independentes.

Três vetores são linearmente independentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por suas coordenadas for diferente de zero.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»t«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»§#913;«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»r«/mi»«mo».«/mo»«/math».

 Portanto; #certo para o espaço «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#8477;«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mi»x«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mi»y«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mi»z«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»§#922;«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mtext»com§#160;«/mtext»«mi»§#922;«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»g«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo».«/mo»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#922;«/mi»«/math» é a matriz que representa a base proposta em «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»§#8477;«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math», e «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»§#922;«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/math» é a sua inversa.

Portanto:

 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mi»x«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mi»y«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mi»z«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»s«/mi»«mi»a«/mi»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»v«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»

Sendo assim, a representação do vetor x (#a1,#a2,#a3) na base (#a, #b, #c) (#d, #e, #f) (#g, #h, #i) será dada por:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»u«/mi»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mi»v«/mi»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mi»n«/mi»«mi»i«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mover»«mi»a«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»§#215;«/mo»«mover»«mi»b«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mrow»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mrow»«mover»«mi»a«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»§#215;«/mo»«mover»«mi»b«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mover»«mi»a«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo»§#215;«/mo»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mover»«mi»b«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo»=«/mo»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo»(#a, #b, #c)«/mo»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo»§#215;«/mo»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo»(#d, #e, #f).«/mo»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo»=«/mo»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mover»«mi»i«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mtd»«mtd»«mover»«mi»j«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mtd»«mtd»«mover»«mi»k«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mstyle»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo»=«/mo»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mo»(«/mo»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mi»#x, #y, #z)«/mi»«/mstyle»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mfenced open=¨§#8214;¨ close=¨§#8214;¨»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mstyle»«mo»=«/mo»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mfenced open=¨§#8214;¨ close=¨§#8214;¨»«mrow»«mover»«mi»a«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»§#215;«/mo»«mover»«mi»b«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«mo»=«/mo»«msqrt»«msubsup»«mi»u«/mi»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mo»+«/mo»«msubsup»«mi»u«/mi»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mo»+«/mo»«msubsup»«mi»u«/mi»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»y«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»z«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle displaystyle=¨false¨»«mfenced open=¨§#8214;¨ close=¨§#8214;¨»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mstyle»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»u«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mi»n«/mi»«mi»i«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(#«/mo»«mi»x«/mi»«mo», #«/mo»«mi»y«/mi»«mo», #«/mo»«mi»z«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo»#«/mo»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mi»n«/mi»«mi»i«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»x«/mi»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mi»y«/mi»«mi»y«/mi»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mi»z«/mi»«mi»z«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/math».

A norma euclidiana (ou módulo) do vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» é dada por :

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»/«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«/math».

Fazendo-se  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», teremos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«/math»

O vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/math» terá um módulo mínimo quando (considerando-se o valor de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math») a derivada «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», portanto:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«/math»

Solucionando-se a equação em «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math», nós acharemos que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»y«/mi»«/math» (Obs.: consideraremos apenas a parte real da solução).

Você pode chegar a essa solução usando o comando do Matlab:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mo»(«/mo»«mo»`«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»`«/mo»«mo»)«/mo»«/math»

Dai:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»x«/mi»«mi»x«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»y«/mi»«mi»y«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»z«/mi»«mi»z«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mfenced open=¨§lt;¨ close=¨§#62;¨»«mrow»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»,«/mo»«mover»«mi»v«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»u«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»v«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«msup»«mn»360«/mn»«mi»o«/mi»«/msup»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/msup»«/math»

Você pode chegar a solução usando os seguintes comandos do Matlab:

v=[1 6]; u=[2 4];
ang=acos(dot(v,u)/(norm(v)*norm(u)))*360/(2*pi)

 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/math».

A norma euclidiana (ou módulo) do vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» é dada por :

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»/«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«/math».

Fazendo-se  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», teremos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«/math»

O vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/math» terá um módulo mínimo quando ele for perpendicular ao vetor dado (#d, #e, #f) e que passa pela origem. Assim, o vetor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/math» terá módulo mínimo quando (considerando-se o valor de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math») a derivada «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», portanto:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»w«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»d«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«/math»

Solucionando-se a equação em «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math», nós acharemos que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»y«/mi»«/math» (Obs.: consideraremos apenas a parte real da solução).

Você pode chegar a essa solução usando o comando do Matlab:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mo»(«/mo»«mo»`«/mo»«mo»#«/mo»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»`«/mo»«mo»)«/mo»«/math»

Dai:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»a«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»b«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»d«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»e«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»x«/mi»«mi»x«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»y«/mi»«mi»y«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»z«/mi»«mi»z«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨||¨ close=¨||¨»«mover»«mi»c«/mi»«mo»§#8640;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»m«/mi»«/math»