Geometría analítica/2. Cónicas GEO. ANALÍTICA 2. 4. 1 Determina la ecuación de la circunferencia dado su gráfico, radio y coordenadas de centro. Determina la ecuación de la circunferencia que muestra la figura:
#c1
Donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#P1«/mi»«/math» es el centro y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math» es el radio.

]]> Solución:

La ecuación general de la circunferencia es de la forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es el centro y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» es el radio.
Así, según muestra el gráfico tenemos:

Radio: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math»
Centro :«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#P1«/mi»«/math»
Reemplazando el centro y el radio en la ecuación de la circunferencia, se obtiene:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»#c3«/mi»«mi»#h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mi»#c2«/mi»«mi»#k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Desarrollando la ecuación anterior, obtenemos la siguiente ecuación equivalente.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»#c4«/mi»«mi»#A«/mi»«mi»#x«/mi»«mi»#c5«/mi»«mi»#B«/mi»«mi»#y«/mi»«mi»#c6«/mi»«mi»#C«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
]]> 1 1 0 0 0 #sol Bien. Continúa de esta manera. ]]> #sol1 Bien. Continúa de esta manera. ]]> #sol3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> #sol2 Bien. Continúa de esta manera. ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»circunferencia«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P3«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»P2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»P1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»r«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»P3«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»seg«/mi»«mo»=«/mo»«mi»segmento«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»P1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mi»seg«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Retroalimentación«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h2«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k2«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»k«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»h«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»B«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»C«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c6«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c6«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol1«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»A«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mo»*«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»A«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mo»*«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»C«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test1«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»sol«/mi»«mo»)«/mo»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»editor=true&testFunctionName%5B2%5D=test1&testFunction%5B3267%5D=2 GEO. ANALÍTICA 2. 4. 2 Elige ecuación de la circunferencia dado su gráfico. Determina la ecuación de la circunferencia que muestra la figura:
#c1
]]> Solución:

La ecuación general de la circunferencia es de la forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es el centro y "«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math»" es el radio.

Según nuestro gráfico, podemos observar que el centro es el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P1«/mi»«/math» y el radio es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r«/mi»«/math» unidades.

Reemplazando el centro y el radio en la circunferencia, obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»#r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»#c2«/mi»«mi»#h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mi»#c3«/mi»«mi»#k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»#r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Desarrollando la ecuación anterior, obtenemos la siguiente ecuación equivalente.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»#c4«/mi»«mi»#A«/mi»«mi»#x«/mi»«mi»#c5«/mi»«mi»#B«/mi»«mi»#y«/mi»«mi»#c6«/mi»«mi»#C«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol Bien. Continúa de esta manera. ]]> #n1 Recuerda que en la ecuación general de la circunsferencia, el radio es al cuadrado. ]]> #n2 Revisa los signos del centro al reemplazarlos en la ecuación. ]]> #n3 Revisa los signos del centro cuando los reemplaces en la ecuación y también que en la ecuación general de la circunferencia el radio sea al cuadrado. ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»circunferencia«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Puntos«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»en«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»la«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»circunferencia«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»x1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»x2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»x3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»x4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»seg«/mi»«mo»=«/mo»«mi»segmento«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»P1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»seg«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Retroalimentación«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»k«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»h«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»B«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»C«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c6«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c6«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c7«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c7«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c8«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c8«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c8«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c8«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 2. 4. 3 Determina la ecuación de la circunferencia dado su gráfico. Determina la ecuación de la circunferencia que muestra la siguiente figura:
#c1
]]> Solución:

La ecuación general de la circunferencia es de la forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es el centro de la circunferencia y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§quot;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/math» es el radio.
Podemos encontrar la ecuación de la circunferencia conociendo un punto cualquiera sobre la circunferencia y el punto que es el centro de esta.

Así, según nuestro gráfico, podemos observar que el centro es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y un punto que pasa sobre la circunferencia es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».(Se puede escoger cualquier punto que esté sobre la circunferencia)

Entonces, lo que buscamos es el radio «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§quot;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/math». Para esto, reemplazamos en la ecuación de la circunferencia el centro y el punto que pasa sobre la circunferencia.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Reemplazando:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#k1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mi»#c2«/mi»«mi»#h3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#k1«/mi»«mi»#c3«/mi»«mi»#k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mi»#h4«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#k4«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#h5«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#k5«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#s6«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msqrt»«mi»#s6«/mi»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced close="|" open="|"»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como el radio es una distancia, nos interesa sólo el valor positivo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§quot;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/math», así:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»#s6«/mi»«/msqrt»«/math»
Entonces,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«msqrt»«mi»#s6«/mi»«/msqrt»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia de centro «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#P1«/mi»«/math» y radio «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msqrt»«mi»#s6«/mi»«/msqrt»«/math» es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»#c2«/mi»«mi»#h3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mi»#c3«/mi»«mi»#k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mi»#s7«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #n1 Recuerda que en la fórmula de la circunferencia el radio es al cuadrado. ]]> #n2 Recuerda que el centro de la circunferencia es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math». ]]> #n3 Al parecer estás calculando mal el radio de la circunferencia. ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»circunferencia«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Puntos«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»en«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»la«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»circunferencia«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»X1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»r«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»X1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Retroalimentación«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k3«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h5«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»h4«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k5«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»k4«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h5«/mi»«mo»+«/mo»«mi»k5«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s7«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»s6«/mi»«/msqrt»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c7«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c7«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c8«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c8«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»s7«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»s7«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c8«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»s7«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»c2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»s6«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 1 Dado el gráfico de una elipse, determina centro y focos. Dado el gráfico de la siguiente elipse

#graf

cuyos vértices son los puntos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V2«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V4«/mi»«/math», entonces, tiene como centro y focos a los puntos:

]]> Solución:

Observemos los gráficos de las elipses de eje focal horizontal y vertical:

elipse horizontal Elipse vertical

En estos gráficos notamos que el centro lo podemos calcular como el punto medio de los vértices que están en la recta que une los focos (eje focal), es decir, si sus vértices son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

y el punto medio se calcula como:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»p«/mi»«mi»u«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/math»

En este caso, los vértices son «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V5«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V6«/mi»«/math», luego

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»#e1«/mi»«mi»#d5«/mi»«mi»#e2«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#e3«/mi»«mi»#d6«/mi»«mi»#e4«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#e5«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#e6«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Ahora, para calcular las coordenadas del foco, primero debemos calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» que es la distancia del centro al foco de la elipse. Para ello, utilizamos la siguiente relación de la elipse:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»,

donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» es la distancia del centro de la elipse al vértice contenido en el eje focal y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» es la distancia del centro a la recta que es perpendicular al eje focal y que pasa por el centro.

Despejando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» y reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» tenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»#f3«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#f4«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#f1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math».

Como la elipse es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math» , las coordenadas de los focos vienen dadas por

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»

Reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», obtenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, la solución es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol

Bien. Continúa de esta manera.
 ]]> #op1 Recuerda que la elipse es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math», y los focos tienen coordenadas

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math».

]]> #op2 Las coordenadas del centro de la elipse son

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

Con esas coordenadas debes reemplazar la elipse en las coordenadas del foco, que son

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»

]]> #op3 Recuerda que la elipse tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math» y sus focos son

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»

también las coordenadas del centro de la elipse son

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

Con esas coordenadas debes reemplazar la elipse en las coordenadas del foco .

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»el«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a2«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»center«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ancho«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»*«/mo»«mi»máximo«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»*«/mo»«mi»máximo«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ancho«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»alto«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»graf«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»el«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»a2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F8«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F8«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»horizontal«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»FO1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»vertical«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V2«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V3«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V4«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V1«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V2«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V3«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»9«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V4«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F5«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F6«/mi»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F8«/mi»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/comment»«/maction»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«ms»F«/ms»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»7«/mn»«/msqrt»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«ms»,«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«ms»F«/ms»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«msqrt»«mn»7«/mn»«/msqrt»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«ms»,«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»Centro«/ms»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»FO1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»FO1«/mi»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 2 Dado el gráfico y ecuación de una elipse, determina centro y focos. La elipse de ecuación

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#elip«/mi»«/math»

cuyo gráfico es

#graf

tiene como focos y centro a los puntos de coordenadas:

]]> Solución:

Recordemos que las ecuaciones de las elipses con eje focal horizontal y vertical son, respectivamente:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del centro de la elipse, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» es la distancia del centro al vértice que pasa por el eje mayor y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» es la distancia del centro al vértice que pasa por el eje menor.

Las coordenadas del centro de esta elipse son «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».

Como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«/math» , entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b1«/mi»«/math».

Las ecuaciones que describen las coordenadas de los focos de la elipse son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Para calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» , usamos la siguiente propiedad que se cumple en toda elipse «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», reemplazamos

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»,

despejamos y obtenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math». Como en este caso la elipse tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math», tenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F12«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F2«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #op1 Observa que en el gráfico de la elipse, los focos están sobre una recta «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math», por lo tanto, los focos se calculan como

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F12«/mi»«/math».

]]> #op2 Al parecer calculaste mal los valores de las coordenadas del centro; en este caso son: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math». Con esos valores reemplazas en las coordenadas del foco.

]]> #op3 La elipse tiene como eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math» y los focos tienen como coordenadas «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F12«/mi»«/math»; además, las coordenadas del centro son: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math».

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»elip«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»el«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a2«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»center«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ancho«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo».«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»máximo«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h2«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k2«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alto«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ancho«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ancho«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»alto«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»graf«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»el«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»a2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»a2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F8«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F8«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»F11«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F12«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»F11«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F12«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F5«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F6«/mi»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F8«/mi»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 3 Dado el gráfico de una parábola, determina vértice y directriz. Dado el gráfico de la siguiente parábola:

#graf

Donde la recta de color verde es la directriz de la parábola y la medida del segmento de color rojo es la distancia entre la directriz y el vértice de esta (cuyo valor es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c2«/mi»«/math»). Además, se muestra el foco de la parábola que tiene como coordenadas «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mi»#F1«/mi»«/math» ; por lo tanto, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz son:

]]> Solución:

Las ecuaciones que describen a la parábola y sus elementos son:

  • Parábola con eje focal paralelo al eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»Y«/mi»«/math»

    «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
    si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mi»k«/mi»«/math» entonces, la parábola se abre hacia arriba y, si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi»k«/mi»«/math» , entonces, la parábola se abre hacia abajo.

  • Vértice: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
  • Foco: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
  • Directriz: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»L«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math»
  • Parábola con eje focal paralelo al eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»X«/mi»«/math»

    «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
    si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mi»h«/mi»«/math» entonces, la parábola se abre hacia la derecha y si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi»h«/mi»«/math», entonces la parábola se abre hacia la izquierda.

  • Vértice: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».
  • Foco: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».
  • Directriz: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»L«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math»

En este caso, la parábola se abre hacia «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d5«/mi»«/math», luego tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math» ,

la coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math» del foco es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d6«/mi»«/math»

y la coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d7«/mi»«/math».

Como el foco de esta parábola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mi»#F1«/mi»«/math» igualando coordenadas tenemos que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#Fx«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d9«/mi»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#Fy«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d10«/mi»«/math»

Luego, el vértice de la parábola es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#center«/mi»«/math».

Como la parábola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d5«/mi»«/math», entonces la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d11«/mi»«/math», reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», tenemos que la ecuación de la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»L«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#d«/mi»«/math»

Por lo tanto, la alternativa correcta es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol

¡Excelente!
]]> #op1 Recuerda que la ecuación de la recta que describe a la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math»

y también, que las coordenadas del vértice son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math».

]]> #op2 Recuerda que la ecuación de la recta que describe a la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math»

y que el foco de esta parábola es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/math».

]]> #op3 Del gráfico, puedes observar que la parábola se abre hacia «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d5«/mi»«/math» y que, por lo tanto, la ecuación que describe a la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math».

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨»librería«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»k1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»ovh«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dir1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dir2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»ovh«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dir1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dir2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»ovh«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dir1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dir2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dir1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dir2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»recta«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Pd1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»dir1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Pd1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»dir1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»dir2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 4 Dado el gráfico y ecuación de una parábola, determina vértice y directriz. La siguiente ecuación

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_2«/mi»«/math»

representa una parábola que tiene como gráfico:

#graf

Entonces, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la directriz son, respectivamente:

]]> Solución:

Recordemos que la parábola que de eje focal horizontal tiene como ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del vértice, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» es la distancia desde el vértice al foco de la parábola.

Como la parábola es horizontal, la coordenada del foco es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math».

En este ejercicio, la parábola tiene como ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_2«/mi»«/math»

Luego, el vértice es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

También, tenemos que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p1«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»

Como ya tenemos el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», podemos calcular el foco y la directriz de la parábola.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»#d«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, la alternativa correcta es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Excelente! ]]> #op1 Recuerda que la ecuación de la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math»

y el vértice de la parábola tiene como coordenadas

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math» .

]]> #op2 El vértice de la parábola tiene como coordenadas:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

y el foco se calcula de la siguiente forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».

]]> #op3 La parábola tiene eje focal horizontal, luego este es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨»librería«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§or;«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»p1«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»center2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»Pd1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 5 Dado el gráfico y ecuación de una parábola, determina vértice, foco y directriz. La siguiente ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_1«/mi»«/math»

representa una parábola que tiene como gráfico:

#graf

Entonces, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la directriz son, respectivamente:

]]> Solución:

Recordemos que la parábola de eje focal vertical tiene como ecuación,

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del vértice y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» es la distancia desde el vértice al foco de la parábola.

Como la parábola tiene eje focal vertical, la coordenada del foco es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math».

En este ejercicio, la parábola tiene como ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_1«/mi»«/math»

Luego, el vértice es

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

También, tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p1«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»

Como ya tenemos el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» podemos calcular el foco y la directriz de la parábola

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#dir1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, la alternativa correcta es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #op1 Ten presente que el vértice de la parábola es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

y que la ecuación de la directriz es perpendicular al eje focal que es vertical, luego la ecuación es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math».

]]> #op2 El vértice de esta parábola viene dado por las coordenadas:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

Además, esta parábola tiene eje focal vertical y como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d9«/mi»«/math», entonces:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».

]]> #op3 Como la parábola se abre hacia «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math», entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d9«/mi»«/math» así, el foco es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math»

y la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math»

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨»librería«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§or;«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»p1«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo».«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»center2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»par_1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»par_ver«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mo»*«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 5 Parábola y sus elementos. La siguiente ecuación

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_2«/mi»«/math»

representa una parábola que tiene como gráfico:

#graf

Entonces, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la directriz son, respectivamente:

]]> Solución:

Recordemos que la parábola que de eje focal horizontal tiene como ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del vértice, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» es la distancia desde el vértice al foco de la parábola.

Como la parábola es horizontal, la coordenada del foco es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math».

En este ejercicio, la parábola tiene como ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_2«/mi»«/math»

Luego, el vértice es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

También, tenemos que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p1«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»

Como ya tenemos el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», podemos calcular el foco y la directriz de la parábola.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»#d«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, la alternativa correcta es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Excelente! ]]> #op1 Recuerda que la ecuación de la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math»

y el vértice de la parábola tiene como coordenadas

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math» .

]]> #op2 El vértice de la parábola tiene como coordenadas:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

y el foco se calcula de la siguiente forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».

]]> #op3 La parábola tiene eje focal horizontal, luego este es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨»librería«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§or;«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»p1«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»par_1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par_2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»par_ver«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»*«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»par_hor«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»*«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»center«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ancho«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»alto«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»/«/mo»«mn»4«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»/«/mo»«mn»4«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»c1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d7«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d7«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»retros«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»alternativas«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dir1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d6«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c2«/mi»«mo»,«/mo»«msub»«mi»Pd1«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F01«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»F«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«mo»,«/mo»«msub»«mi»F1«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mi»k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alternativas«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»center2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»center2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»Pd1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Foco«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»directriz«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»center«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 6 Dado el gráfico y ecuación de una hipérbola, determina vértices, focos y asíntotas. En la siguiente figura se muestra el gráfico de una hipérbola

#graf

de ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»

Los focos, vértices y ecuaciones de sus asíntotas son:

]]> Solución:

Los siguientes gráficos muestran las hipérbolas con eje focal horizontal y vertical, respectivamente.

hipérbola horizontal

hipérbola vertical

En este ejercicio, la hipérbola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math». Luego tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as1«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Observemos que de la figura adjunta de eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» tenemos lo siguiente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en el eje focal.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en la recta perpendicular al eje focal.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a alguno de los focos.

La ecuación de la hipérbola de este ejercicio es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»

de la cual podemos encontrar su centro:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#center«/mi»«/math»

luego tenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

Para calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», utilizamos la relación dada en la hipérbola

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»

reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» calculados, se tiene:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Como tenemos los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», reemplazamos en las coordenadas de los focos, vértices y en las asíntotas obteniendo:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, la solución es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #op1 Ten en cuenta que esta hipérbola tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» y entonces los focos son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> #op2 Observa que del gráfico de esta hipérbola se concluye que tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math»; por lo tanto, los vértices vienen dados por la fórmula:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> #op3 Recuerda que las asíntotas para la hipérbola de eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»#d_11«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#d_12«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dir_1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dir_2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dir_1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dir_2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dire_1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dire_2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 7 Dado el gráfico y ecuación de una hipérbola, determina vértices, focos y asíntotas. En la siguiente figura se muestra el gráfico de una hipérbola

#graf

de ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»

Los focos, vértices y ecuaciones de sus asíntotas son:

]]> Solución:

Los siguientes gráficos muestran las hipérbolas con eje focal horizontal y vertical, respectivamente.

hipérbola horizontal

hipérbola vertical

En este ejercicio, la hipérbola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math». Luego tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as1«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Observemos que de la figura adjunta de eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» tenemos lo siguiente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en el eje focal.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en la recta perpendicular al eje focal.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a alguno de los focos.

La ecuación de la hipérbola de este ejercicio es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»

de la cual podemos encontrar su centro:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#center«/mi»«/math»

luego tenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

Para calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», utilizamos la relación dada en la hipérbola

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»

reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» calculados, se tiene:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Como tenemos los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», reemplazamos en las coordenadas de los focos, vértices y en las asíntotas obteniendo:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, la solución es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math»

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #op1 Ten en cuenta que esta hipérbola tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» y entonces los focos son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> #op2 Observa que del gráfico de esta hipérbola se concluye que tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math»; por lo tanto, los vértices vienen dados por la fórmula:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> #op3 Recuerda que las asíntotas para la hipérbola de eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»#d_11«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#d_12«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dir_1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dir_2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dir_1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dir_2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»:«/mo»«mo»#«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»F1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»F2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»V2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dire_1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dire_2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 1. 8 Dado el gráfico y ecuación de una parábola, determina vértice, foco y directriz. La siguiente ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_1«/mi»«/math»

representa una parábola que tiene como gráfico:

#graf

Entonces, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la directriz son, respectivamente:

]]> Solución:

Recordemos que la parábola de eje focal vertical tiene como ecuación,

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del vértice y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» es la distancia desde el vértice al foco de la parábola.

Como la parábola tiene eje focal vertical, la coordenada del foco es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math».

En este ejercicio, la parábola tiene como ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_1«/mi»«/math»

Luego, el vértice es

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

También, tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p1«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»

Como ya tenemos el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» podemos calcular el foco y la directriz de la parábola

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#dir1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, la alternativa correcta es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #op1 Ten presente que el vértice de la parábola es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

y que la ecuación de la directriz es perpendicular al eje focal que es vertical, luego la ecuación es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math».

]]> #op2 El vértice de esta parábola viene dado por las coordenadas:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»

Además, esta parábola tiene eje focal vertical y como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d9«/mi»«/math», entonces:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».

]]> #op3 Como la parábola se abre hacia «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math», entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d9«/mi»«/math» así, el foco es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math»

y la directriz es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math»

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨»librería«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»h1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»k1«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»k1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§or;«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»p1«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»p1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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ANALÍTICA 3. 2. 1 Identificar la cónica y su gráfica, dada su ecuación. La gráfica del lugar geométrico que representa la ecuación #ec es: ]]> Solución:

Para poder identificar la gráfica que corresponde a la ecuación:
#ec
utilizaremos la siguiente tabla:

Parábola vertical:
par-vert

 		es el vértice de la parábola.
es el foco de la parábola.
es la diferencia entre la coordenada de y la coordenada de .
La línea roja horizontal es la directriz.

Observaciones:
Si , entonces la parábola se "abre" hacia arriba.
Si , entonces la parábola se "abre" hacia abajo.
Parábola horizontal:
par_horizontal

 es el vértice de la parábola.
es el foco de la parábola.
es la diferencia entre la coordenada de y la coordenada de .
La línea roja horizontal es la directriz.

Observaciones:
Si , entonces la parábola se "abre"hacia la derecha.
Si , entonces la parábola se "abre" hacia la izquierda.
Hipérbola vertical:
hip_vertical 		- es el centro de la hipérbola.
- es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los vértices:
.
- es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los focos: .
- es la distancia vertical que hay desde el centro hasta uno de los lados del rectángulo que sirve de guía para dibujar la hipérbola, además y están en la relación .
Hipérbola horizontal:
hip_horizontal 		- es el centro de la hipérbola.
- es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los vértices:
.
- es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los focos: .
- es la distancia vertical que hay desde el centro hasta uno de los lados del rectángulo que sirve de guía para dibujar la hipérbola; además, y están en la relación .
Elipse:
elipse 		- es el centro de la elipse.
- es la distancia que hay desde el centro hasta los puntos más extremos de la elipse (horizontalmente).
- es la distancia que hay desde el centro hasta los puntos más extremos de la elipse (verticalmente).


Podemos observar que la ecuación corresponde a la #t2.
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #opa ¡Excelente! ]]> #opb Al parecer no identificaste correctamente la gráfica y su ecuación. Esta es la gráfica de una #t3 ]]> #opc Al parecer no identificaste correctamente la gráfica y su ecuación. Esta es la gráfica de una #t4 ]]> #opd Al parecer no identificaste correctamente la gráfica y su ecuación. Esta es la gráfica de una #t5 ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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ANALÍTICA 3. 2. 2 Identificar la cónica y su gráfica, dada su ecuación. La gráfica del lugar geométrico que representa la ecuación #ec es: ]]> Solución:

Para poder identificar la gráfica que corresponde a la ecuación:
#ec
utilizaremos la siguiente tabla:

Parábola vertical:
par-vert

 		es el vértice de la parábola.
es el foco de la parábola.
es la diferencia entre la coordenada de y la coordenada de .
La línea roja horizontal es la directriz.

Observaciones:
Si , entonces la parábola se "abre" hacia arriba.
Si , entonces la parábola se "abre" hacia abajo.
Parábola horizontal:
par_horizontal

 es el vértice de la parábola.
es el foco de la parábola.
es la diferencia entre la coordenada de y la coordenada de .
La línea roja horizontal es la directriz.

Observaciones:
Si , entonces la parábola se "abre"hacia la derecha.
Si , entonces la parábola se "abre" hacia la izquierda.
Hipérbola vertical:
hip_vertical 		- es el centro de la hipérbola.
- es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los vértices:
.
- es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los focos: .
- es la distancia vertical que hay desde el centro hasta uno de los lados del rectángulo que sirve de guía para dibujar la hipérbola, además y están en la relación .
Hipérbola horizontal:
hip_horizontal 		- es el centro de la hipérbola.
- es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los vértices:
.
- es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los focos: .
- es la distancia vertical que hay desde el centro hasta uno de los lados del rectángulo que sirve de guía para dibujar la hipérbola; además, y están en la relación .
Elipse:
elipse 		- es el centro de la elipse.
- es la distancia que hay desde el centro hasta los puntos más extremos de la elipse (horizontalmente).
- es la distancia que hay desde el centro hasta los puntos más extremos de la elipse (verticalmente).


Podemos observar que la ecuación corresponde a la #t2.
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #opa ¡Excelente! ]]> #opb Al parecer no identificaste correctamente la gráfica y su ecuación. Esta es la gráfica de una #t3 ]]> #opc Al parecer no identificaste correctamente la gráfica y su ecuación. Esta es la gráfica de una #t4 ]]> #opd Al parecer no identificaste correctamente la gráfica y su ecuación. Esta es la gráfica de una #t5 ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R4«/mi»«mo»(«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R4«/mi»«mo»(«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R4«/mi»«mo»(«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R4«/mi»«mo»(«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ec«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»(«/ms»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«ms»)«/ms»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«ms»(«/ms»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«ms»)«/ms»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»an«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»18«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»parábola«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»vertical«/ms»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t3«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»parábola«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»horizontal«/ms»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t4«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»elipse«/ms»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t5«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»hipérbola«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»horizontal«/ms»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; GEO. ANALÍTICA 3. 3. 1 Problemas aplicados con parábola. El siguiente gráfico describe la altura de un proyectil en un determinado tiempo. En donde el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» corresponde a la altura del proyectil en metros y el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math» al tiempo en segundos.
#p1

Si la altura máxima es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a2«/mi»«/math» metros y la alcanza a los «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a1«/mi»«/math» segundos.
¿Después de cuántos segundos el proyectil está nuevamente en el suelo?

]]> Solución:

La altura de un proyectil, en un determinado tiempo, está descrita por una parábola vertical; entonces, podemos saber que la ecuación es la siguiente:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/math» es el vértice y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§quot;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/math» es la distancia del vértice al foco. Además, si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» la parábola es cóncava hacia abajo y si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» la parábola es cóncava hacia arriba.

Cabe destactar, que la altura de un proyectil en un determinado tiempo es gráficamente una parábola cóncava hacia abajo.

En el gráfico, el eje de las abscisas o eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»X«/mi»«/math» indica tiempo en segundos y el eje de las ordenadas o eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»Y«/mi»«/math» indica altura en metros.

Según los datos, tenemos que la altura máxima es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a2«/mi»«/math» metros y el proyectil la alcanza a los «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a1«/mi»«/math» segundos; así, el punto que define el vértice es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math». Entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».

Reemplazando el vértice en la ecuación de la parábola, obtenemos :

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Para obtener «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§quot;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/math», podemos reemplazar un punto que esté en la parábola. Este punto puede ser «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math».
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»-«/mo»«mi»#a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»#a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#a4«/mi»«mi»#c«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#a4«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mfrac»«msup»«mi»#a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»#a4«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»c«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»s«/mi»«mi»i«/mi»«mi»m«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»f«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#a5«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»c«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Así, la ecuación de la parábola es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#a5«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
En el gráfico, el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» indica los segundos donde el proyectil vuelve a estar en el suelo; por esta razón, reemplazamos el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» en la ecuación de la parábola y así obtendremos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math».
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#a5«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»-«/mo»«mi»#a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#a5«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#a6«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»#a6«/mi»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»+«/mo»«mfenced»«mi»#a1«/mi»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»#a6«/mi»«/msqrt»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»n«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mi»i«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»m«/mi»«mi»o«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»o«/mi»«mi»s«/mi»«mi»i«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»v«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#a7«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#a8«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, el proyectil vuelve a estar en el suelo a los «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a8«/mi»«/math» segundos.

]]> 1 1 0 0 0 #sol Bien. Continúa de esta manera. ]]> #sol2 Revisa tu desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»30«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a3«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mi»parabola«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«msup»«mi»a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a2«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a3«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»,«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»50«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mi»p«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»V«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»P«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Altura«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»Máx«/mi»«mo».«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»metros«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»a3«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»8«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Retroalimentación«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a4«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a5«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a4«/mi»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a6«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a5«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a7«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»a6«/mi»«/msqrt»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a8«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a7«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a3«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test1«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»sol«/mi»«mo»)«/mo»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»testFunctionName%5B1%5D=test1&testFunction%5B1848%5D=1 GEO. ANALÍTICA 3. 3. 2 Problemas aplicados con circunferencia. El servicio sismológico de Chile detectó un sismo con origen en la ciudad de #ciudad a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math» km al Este y a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#k«/mi»«/math» km al Norte del centro de la ciudad, con un radio de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r«/mi»«/math» km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada? ]]> Solución:

La ecuación general de la circunferencia es de la forma:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es el centro y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» es el radio.

Si tomamos la ciudad de #ciudad como el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» del plano, podemos encontrar el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math», donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math» son los km al Este y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#k«/mi»«/math» son los km al Norte del centro de la ciudad de #ciudad.
Así, el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es el centro de la circunferencia y los «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r«/mi»«/math» km a la redonda son el radio de la circunferencia.

Entonces tenemos :

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es el centro de la circunferencia.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r«/mi»«/math» es el radio de la circunferencia.

Gráficamente:
#c1
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia según los datos, es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Desarrollando la ecuación anterior, obtenemos la siguiente ecuación equivalente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»#c4«/mi»«mi»#A«/mi»«mi»#x«/mi»«mi»#c5«/mi»«mi»#B«/mi»«mi»#y«/mi»«mi»#c6«/mi»«mi»#C«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

]]> 1 1 0 0 0 #sol ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #sol1 ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #sol2 ¡Muy bien! Sigue así. ]]> #sol3 Revisa tu desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ciudad«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»§quot;«/mo»«mi»Santiago«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Valparaíso«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Viña«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»del«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»mar«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Temuco«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Concepción«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Arica«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»30«/mn»«mo»,«/mo»«mn»200«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»circunferencia«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P3«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»P2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»P1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»r«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»P3«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»NORTE«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»P4«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»ESTE«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»P5«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»seg«/mi»«mo»=«/mo»«mi»segmento«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»P1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»seg«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»k«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»h«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mi»k«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»B«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»C«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»c6«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»c6«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol1«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»A«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mo»*«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»A«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mo»*«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»C«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test1«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»sol«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»sol1«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»sol2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»editor=true&testFunctionName%5B3%5D=test1&testFunction%5B1865%5D=3 GEO. ANALÍTICA 3. 3. 3 Problemas aplicados con lugares geométricos. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un avión que se mantiene sobrevolando sobre la ciudad de #ciudad a una distancia constante de #r km de la torre de aterrizaje?

Escribe la ecuación del lugar geométrico.]]> Solución:

Como el avión se encuentra sobrevolando a una distancia constante de la torre de aterrizaje, podemos darnos cuenta que el lugar geométrico es una circunferencia.

La ecuación de la circunferencia es de la forma :

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es el centro y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» es el radio.

Si le asignamos el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» a la torre de aterrizaje, entonces el centro de la circunferencia es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» y el radio es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r«/mi»«/math».

Observemos la figura que indica que trayectoria del avión:
#c1
Reemplazando el centro y radio en la ecuación de la circunferencia, obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Por lo tanto, el lugar geométrico que describe la trayectoria del avión es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
]]> 1 1 0 0 0 #sol ¡Excelente! ]]> #sol1 ¡Excelente! ]]> #sol2 «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ciudad«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»§quot;«/mo»«mi»Santiago«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Valparaíso«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Viña«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»del«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»mar«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Temuco«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Concepción«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Arica«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»40«/mn»«mo»,«/mo»«mn»80«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»circunferencia«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P3«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»P2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»P1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»r«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»Torre«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»aterrizaje«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»P1«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»P3«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»seg«/mi»«mo»=«/mo»«mi»segmento«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»P1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»seg«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol1«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test1«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»sol«/mi»«mo»)«/mo»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»editor=true&testFunctionName%5B2%5D=test1&testFunction%5B1868%5D=2 GEO. ANALÍTICA 3. 3. 4 Problemas aplicados con parábolas. Un arco parabólico tiene #a metros de altura y #b metros de ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola, ¿A qué altura sobre la base tiene un ancho de #d metros?


]]>

Solución:

Con los datos entregados, podemos graficar la situación de la siguiente manera:

#p1


Como la parábola es vertical y cóncava hacia abajo, su ecuación es de la forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/math» con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

Donde el vértice es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/math», en nuestro caso «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math». Reemplazando estos valores en la ecuación, obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

Para conocer el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» reemplazamos un punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» perteneciente a la parábola (distinto del vértice). En nuestro caso, como el ancho del arco es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b«/mi»«/math» metros y el eje de simetría de nuestra parábola es el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math», entonces uno de los extremos del arco es el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math», por lo tanto, al reemplazar obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math» /multiplicando los términos correspondientes.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b4«/mi»«mo»·«/mo»«mi»c«/mi»«/math» /multiplicando por el inverso multiplicativo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b4«/mi»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#b3«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#b4«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b5«/mi»«/math»

Por lo tanto, reemplazando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» en la ecuación anterior se obtiene:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#b5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

La pregunta: ¿A qué altura sobre la base tiene un ancho de #d metros?, quiere decir que dado el ancho (coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math») estamos buscando el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math»(que es la altura) y lo representamos con el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» perteneciente a la parábola.

Reemplazando este punto en la ecuación «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math», obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math» /multiplicando los términos correspondientes.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#c2«/mi»«/math» /sumando el inverso aditivo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c2«/mi»«/math».

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#c2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«/math» /multiplicando por el inverso multiplicativo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b6«/mi»«/math».

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#c3«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#b6«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c4«/mi»«/math»


Por lo tanto, cuando el arco tiene un ancho de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d«/mi»«/math» metros, su altura es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c4«/mi»«/math» metros.


]]> 1 1 0 0 0 #c4 ¡Muy bien! Sigue así.
]]> #sol2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mfrac»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»c«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mfrac»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§isin;«/mo»«naturalnumbers/»«mo»§and;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mi»parábola«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»45«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»p«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»V«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»B«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»C«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»Vértice«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»V«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V«/mi»«mo»+«/mo»«mo»[«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»]«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»B«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»B«/mi»«mo»+«/mo»«mo»[«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»]«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»C«/mi»«mo»+«/mo»«mo»[«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»]«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Retroalimentación«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»b«/mi»«mo»/«/mo»«mn»2«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b3«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»b3«/mi»«mo»/«/mo»«mi»b4«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b6«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b5«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b6«/mi»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»c3«/mi»«mo»/«/mo»«mi»b6«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»c4«/mi»«mo»)«/mo»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»28«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c4«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»49«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«mi»y1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»196«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»testFunctionName%5B1%5D=test&testFunction%5B1927%5D=1