#dib
El punto medio entre dos puntos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/math» corresponde a:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»P«/mi»«mrow»«mi»m«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/math»
En nuestro caso «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#x1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#y1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#x2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#y2«/mi»«mo»)«/mo»«/math» así, el punto medio C corresponde a:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»#x1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#x5«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#y1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#y5«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Por lo tanto, el punto medio entre «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#x1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#y1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#x2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#y2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#P«/mi»«/math»
Recuerda que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math», corresponde a la pendiente de la recta (m). Para nuestro caso «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#y2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#y1«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#x2«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#x1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#r2«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#r3«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#m1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
|
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»; Conocido un punto P de coordenadas «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»; además, de la pendiente "m" de una recta. |
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. En simbología matemática, esto se escribe de la siguiente manera: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»m«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo».«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8741;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8660;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»m«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math» |
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#8869;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8660;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»m«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»·«/mo»«msub»«mi»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»m«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/math» |
#graf
cuyos vértices son los puntos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V2«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V4«/mi»«/math», entonces, tiene como centro y focos a los puntos:
]]>Observemos los gráficos de las elipses de eje focal horizontal y vertical:
En estos gráficos notamos que el centro lo podemos calcular como el punto medio de los vértices que están en la recta que une los focos (eje focal), es decir, si sus vértices son:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
y el punto medio se calcula como:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»p«/mi»«mi»u«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/math»
En este caso, los vértices son «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V5«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#V6«/mi»«/math», luego
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»#e1«/mi»«mi»#d5«/mi»«mi»#e2«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#e3«/mi»«mi»#d6«/mi»«mi»#e4«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#e5«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#e6«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Ahora, para calcular las coordenadas del foco, primero debemos calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» que es la distancia del centro al foco de la elipse. Para ello, utilizamos la siguiente relación de la elipse:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»,
donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» es la distancia del centro de la elipse al vértice contenido en el eje focal y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» es la distancia del centro a la recta que es perpendicular al eje focal y que pasa por el centro.
Despejando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» y reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» tenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»#f3«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#f4«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#f1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math».
Como la elipse es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math» , las coordenadas de los focos vienen dadas por
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»
Reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», obtenemos que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego, la solución es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»
Con esas coordenadas debes reemplazar la elipse en las coordenadas del foco, que son
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F01«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F02«/mi»«/math»
también las coordenadas del centro de la elipse son
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»
Con esas coordenadas debes reemplazar la elipse en las coordenadas del foco .
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#elip«/mi»«/math»
cuyo gráfico es
#graf
tiene como focos y centro a los puntos de coordenadas:
]]>Recordemos que las ecuaciones de las elipses con eje focal horizontal y vertical son, respectivamente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del centro de la elipse, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» es la distancia del centro al vértice que pasa por el eje mayor y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» es la distancia del centro al vértice que pasa por el eje menor.
Las coordenadas del centro de esta elipse son «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».
Como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«/math» , entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b1«/mi»«/math».
Las ecuaciones que describen las coordenadas de los focos de la elipse son:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Para calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» , usamos la siguiente propiedad que se cumple en toda elipse «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», reemplazamos
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»,
despejamos y obtenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math». Como en este caso la elipse tiene eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d3«/mi»«/math», tenemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F12«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F2«/mi»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F11«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F12«/mi»«/math».
]]>#graf
Donde la recta de color verde es la directriz de la parábola y la medida del segmento de color rojo es la distancia entre la directriz y el vértice de esta (cuyo valor es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c2«/mi»«/math»). Además, se muestra el foco de la parábola que tiene como coordenadas «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mi»#F1«/mi»«/math» ; por lo tanto, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz son:
]]>Las ecuaciones que describen a la parábola y sus elementos son:
]]>En este caso, la parábola se abre hacia «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d5«/mi»«/math», luego tenemos que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math» ,
la coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math» del foco es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d6«/mi»«/math»
y la coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math» es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d7«/mi»«/math».
Como el foco de esta parábola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mi»#F1«/mi»«/math» igualando coordenadas tenemos que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#Fx«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d9«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#Fy«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d10«/mi»«/math»
Luego, el vértice de la parábola es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#center«/mi»«/math».
Como la parábola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d5«/mi»«/math», entonces la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d11«/mi»«/math», reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», tenemos que la ecuación de la directriz es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»L«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#d«/mi»«/math»
Por lo tanto, la alternativa correcta es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math»
y también, que las coordenadas del vértice son:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math»
y que el foco de esta parábola es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»F«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#F1«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d8«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_2«/mi»«/math»
representa una parábola que tiene como gráfico:
#graf
Entonces, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la directriz son, respectivamente:
]]>Recordemos que la parábola que de eje focal horizontal tiene como ecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del vértice, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» es la distancia desde el vértice al foco de la parábola.
Como la parábola es horizontal, la coordenada del foco es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math».
En este ejercicio, la parábola tiene como ecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_2«/mi»«/math»
Luego, el vértice es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
También, tenemos que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p1«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»
Como ya tenemos el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», podemos calcular el foco y la directriz de la parábola.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»#d«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, la alternativa correcta es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math»
y el vértice de la parábola tiene como coordenadas
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math» .
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»
y el foco se calcula de la siguiente forma:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_1«/mi»«/math»
representa una parábola que tiene como gráfico:
#graf
Entonces, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la directriz son, respectivamente:
]]>Recordemos que la parábola de eje focal vertical tiene como ecuación,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del vértice y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» es la distancia desde el vértice al foco de la parábola.
Como la parábola tiene eje focal vertical, la coordenada del foco es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math».
En este ejercicio, la parábola tiene como ecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_1«/mi»«/math»
Luego, el vértice es
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
También, tenemos que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p1«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»
Como ya tenemos el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» podemos calcular el foco y la directriz de la parábola
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#dir1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, la alternativa correcta es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»
y que la ecuación de la directriz es perpendicular al eje focal que es vertical, luego la ecuación es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»
Además, esta parábola tiene eje focal vertical y como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d9«/mi»«/math», entonces:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math»
y la directriz es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_2«/mi»«/math»
representa una parábola que tiene como gráfico:
#graf
Entonces, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la directriz son, respectivamente:
]]>Recordemos que la parábola que de eje focal horizontal tiene como ecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del vértice, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» es la distancia desde el vértice al foco de la parábola.
Como la parábola es horizontal, la coordenada del foco es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math».
En este ejercicio, la parábola tiene como ecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_2«/mi»«/math»
Luego, el vértice es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
También, tenemos que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p1«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»
Como ya tenemos el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», podemos calcular el foco y la directriz de la parábola.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»#d«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, la alternativa correcta es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math»
y el vértice de la parábola tiene como coordenadas
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math» .
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»
y el foco se calcula de la siguiente forma:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».
]]>
#graf
de ecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»
Los focos, vértices y ecuaciones de sus asíntotas son:
]]>
Los siguientes gráficos muestran las hipérbolas con eje focal horizontal y vertical, respectivamente.
En este ejercicio, la hipérbola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math». Luego tenemos que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as1«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Observemos que de la figura adjunta de eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» tenemos lo siguiente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en el eje focal.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en la recta perpendicular al eje focal.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a alguno de los focos.
La ecuación de la hipérbola de este ejercicio es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»
de la cual podemos encontrar su centro:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#center«/mi»«/math»
luego tenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Para calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», utilizamos la relación dada en la hipérbola
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» calculados, se tiene:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como tenemos los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», reemplazamos en las coordenadas de los focos, vértices y en las asíntotas obteniendo:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego, la solución es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»#d_11«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#d_12«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
]]>
#graf
de ecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»
Los focos, vértices y ecuaciones de sus asíntotas son:
]]>
Los siguientes gráficos muestran las hipérbolas con eje focal horizontal y vertical, respectivamente.
En este ejercicio, la hipérbola es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math». Luego tenemos que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V01«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V02«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as1«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#as2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Observemos que de la figura adjunta de eje focal «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#tipo«/mi»«/math» tenemos lo siguiente:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en el eje focal.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a algún vértice que está en la recta perpendicular al eje focal.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»:«/mo»«/math» distancia del centro a alguno de los focos.
La ecuación de la hipérbola de este ejercicio es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#hiper«/mi»«/math»
de la cual podemos encontrar su centro:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#center«/mi»«/math»
luego tenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Para calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math», utilizamos la relación dada en la hipérbola
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
reemplazando los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»b«/mi»«/math» calculados, se tiene:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»#a1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«msqrt»«mo»§nbsp;«/mo»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mi»#a2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b2«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como tenemos los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«/math», reemplazamos en las coordenadas de los focos, vértices y en las asíntotas obteniendo:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi mathvariant="normal"»cos«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#F04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V03«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#V04«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»s«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»L«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#d_2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego, la solución es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»F«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#F14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»#V14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»#d_11«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#d_12«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_1«/mi»«/math»
representa una parábola que tiene como gráfico:
#graf
Entonces, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la directriz son, respectivamente:
]]>Recordemos que la parábola de eje focal vertical tiene como ecuación,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» es la coordenada del vértice y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» es la distancia desde el vértice al foco de la parábola.
Como la parábola tiene eje focal vertical, la coordenada del foco es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y la ecuación de la directriz es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«/math».
En este ejercicio, la parábola tiene como ecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#par_1«/mi»«/math»
Luego, el vértice es
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#k1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
También, tenemos que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#p1«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c1«/mi»«/math»
Como ya tenemos el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» podemos calcular el foco y la directriz de la parábola
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mi»o«/mi»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#F01«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi»i«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#dir1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, la alternativa correcta es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»
y que la ecuación de la directriz es perpendicular al eje focal que es vertical, luego la ecuación es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#k1«/mi»«/math»
Además, esta parábola tiene eje focal vertical y como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d9«/mi»«/math», entonces:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math».
]]>«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#F01«/mi»«/math»
y la directriz es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#dir1«/mi»«/math»
]]>Parábola vertical: |
es el vértice de la parábola. es el foco de la parábola. es la diferencia entre la coordenada de y la coordenada de . La línea roja horizontal es la directriz. Observaciones: Si , entonces la parábola se "abre" hacia arriba. Si , entonces la parábola se "abre" hacia abajo. |
Parábola horizontal:
|
es el vértice de la parábola. es el foco de la parábola. es la diferencia entre la coordenada de y la coordenada de . La línea roja horizontal es la directriz. Observaciones: Si , entonces la parábola se "abre"hacia la derecha. Si , entonces la parábola se "abre" hacia la izquierda. |
Hipérbola vertical: |
- es el centro de la hipérbola. - es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los vértices: . - es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los focos: . - es la distancia vertical que hay desde el centro hasta uno de los lados del rectángulo que sirve de guía para dibujar la hipérbola, además y están en la relación . |
Hipérbola horizontal: |
- es el centro de la hipérbola. - es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los vértices: . - es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los focos: . - es la distancia vertical que hay desde el centro hasta uno de los lados del rectángulo que sirve de guía para dibujar la hipérbola; además, y están en la relación . |
Elipse: |
- es el centro de la elipse. - es la distancia que hay desde el centro hasta los puntos más extremos de la elipse (horizontalmente). - es la distancia que hay desde el centro hasta los puntos más extremos de la elipse (verticalmente). |
Parábola vertical: |
es el vértice de la parábola. es el foco de la parábola. es la diferencia entre la coordenada de y la coordenada de . La línea roja horizontal es la directriz. Observaciones: Si , entonces la parábola se "abre" hacia arriba. Si , entonces la parábola se "abre" hacia abajo. |
Parábola horizontal:
|
es el vértice de la parábola. es el foco de la parábola. es la diferencia entre la coordenada de y la coordenada de . La línea roja horizontal es la directriz. Observaciones: Si , entonces la parábola se "abre"hacia la derecha. Si , entonces la parábola se "abre" hacia la izquierda. |
Hipérbola vertical: |
- es el centro de la hipérbola. - es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los vértices: . - es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los focos: . - es la distancia vertical que hay desde el centro hasta uno de los lados del rectángulo que sirve de guía para dibujar la hipérbola, además y están en la relación . |
Hipérbola horizontal: |
- es el centro de la hipérbola. - es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los vértices: . - es la distancia que hay desde el centro hasta cualquiera de los focos: . - es la distancia vertical que hay desde el centro hasta uno de los lados del rectángulo que sirve de guía para dibujar la hipérbola; además, y están en la relación . |
Elipse: |
- es el centro de la elipse. - es la distancia que hay desde el centro hasta los puntos más extremos de la elipse (horizontalmente). - es la distancia que hay desde el centro hasta los puntos más extremos de la elipse (verticalmente). |
Solución:
Con los datos entregados, podemos graficar la situación de la siguiente manera:
#p1
Como la parábola es vertical y cóncava hacia abajo, su ecuación es de la forma:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/math» con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Donde el vértice es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/math», en nuestro caso «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math». Reemplazando estos valores en la ecuación, obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
Para conocer el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» reemplazamos un punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» perteneciente a la parábola (distinto del vértice). En nuestro caso, como el ancho del arco es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b«/mi»«/math» metros y el eje de simetría de nuestra parábola es el eje «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math», entonces uno de los extremos del arco es el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#b2«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math», por lo tanto, al reemplazar obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»c«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math» /multiplicando los términos correspondientes.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b4«/mi»«mo»·«/mo»«mi»c«/mi»«/math» /multiplicando por el inverso multiplicativo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b4«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#b3«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#b4«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b5«/mi»«/math»
Por lo tanto, reemplazando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«/math» en la ecuación anterior se obtiene:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#b5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
La pregunta: ¿A qué altura sobre la base tiene un ancho de #d metros?, quiere decir que dado el ancho (coordenada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math») estamos buscando el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math»(que es la altura) y lo representamos con el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» perteneciente a la parábola.
Reemplazando este punto en la ecuación «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math», obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»)«/mo»«/math» /multiplicando los términos correspondientes.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#c2«/mi»«/math» /sumando el inverso aditivo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c2«/mi»«/math».
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#c2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b6«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«/math» /multiplicando por el inverso multiplicativo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b6«/mi»«/math».
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#c3«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#b6«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c4«/mi»«/math»
Por lo tanto, cuando el arco tiene un ancho de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#d«/mi»«/math» metros, su altura es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c4«/mi»«/math» metros.