Derivadas/4 Aplicaciones RA7 3.1 Razón de Cambio: mancha de petróleo. Se han derramado «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#v«/mi»«/math» de petróleo en el mar, dejando una mancha con forma de cilindro recto circular.

Calcula la rapidez con que aumenta el radio de la mancha si el espesor disminuye a razón de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math» en el instante en que su radio es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#r«/mi»«/math»

]]>

Solución:

Para resolver el ejercicio, debemos hallar la velocidad con que aumenta el radio «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» a medida que la mancha se expande sobre la superficie del mar en el instante en que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math».

Sabemos que el volumen de la mancha permanece constante y que está en función del radio «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» y de la altura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math», los que varían respecto al tiempo.

Como la mancha es de forma cilíndrica, su volumen está dado por:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8704;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

Derivamos ambos miembros de la igualdad respecto a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math»:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

Como el volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math» es constante (independiente del tiempo) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».

Por lo tanto, de la igualdad anterior obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

Despejando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

Los datos que tenemos son los siguientes:«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#v«/mi»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math» (este valor es negativo ya que el espesor de la mancha "disminuye" a razón de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math»)

De la relación «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math» despejamos «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math»:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Debemos trabajar en las mismas unidades de medida, por lo tanto, como el volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»está en #u3, escribiremos el radio «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» en #u4.

Por lo tanto, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c3«/mi»«/math»

Reemplazando en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#v«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#c3«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«/math»

Finalmente, sustituimos los valores en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/math»:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#c3«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#h1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mo»-«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#sol3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8776;«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, la velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math» es aproximadamente de #s1.

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #s1 ¡Muy bien! Continúa de esa manera.

]]> #s2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #s3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #s4 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#k¨»km«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»50«/mn»«mo»,«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#k¨»km«/csymbol»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»30«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#k¨»km«/csymbol»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mi»v«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mi»km«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#k¨»km«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»u1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»u2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mi»h«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»u3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mi»v«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»u4«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mi»u3«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§lt;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»u4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»u2«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»u1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»u4«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ut«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/hour¨»h«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/second¨»s«/csymbol»«mo»,«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/minute¨»min«/csymbol»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»convertir«/mi»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»unidad«/mi»«mo»(«/mo»«mroot»«mi»v«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»v«/mi»«mrow»«msup»«mi»c3«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«pi/»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sol1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»r«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»*«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»ut«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sol2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»r«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»*«/mo»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»coeficiente«/mi»«mo»(«/mo»«mi»sol1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo».«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»coeficiente«/mi»«mo»(«/mo»«mi»sol2«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»/«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»co1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»u4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»/«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»co2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»u2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mi»redondear«/mi»«mo»(«/mo»«mi»co1«/mi»«mo»*«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ss«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mi»redondear«/mi»«mo»(«/mo»«mi»co2«/mi»«mo»*«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»/«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»s«/mi»«mo»,«/mo»«mi»u4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»/«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»s«/mi»«mo»,«/mo»«mi»u1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»s1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»/«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»ss«/mi»«mo»,«/mo»«mi»u1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ut«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40.784«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/minute¨»min«/csymbol»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»co1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.40784«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»co2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»49«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.41«/mn»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«ms»/«/ms»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/minute¨»min«/csymbol»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.41«/mn»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«ms»/«/ms»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/minute¨»min«/csymbol»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s3«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»0.41«/mn»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«ms»/«/ms»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/minute¨»min«/csymbol»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s4«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»49.«/mn»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«ms»/«/ms»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/minute¨»min«/csymbol»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»98«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»16«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»58«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter#c¨»cm«/csymbol»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u3«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«csymbol definitionURL=¨http://.../units/meter¨»m«/csymbol»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 3.2 Razón de Cambio: Cono invertido llenándose. Una tolva con forma de cono recto circular invertido, de radio de base «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«/math» y altura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»H«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«/math», está siendo llenada con un líquido a razón constante de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#q1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» por minuto.
A medida que se produce el llenado, el nivel del líquido en la tolva sube.

Calcula la velocidad con que cambia la altura cuando la altura del líquido en la tolva es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h2«/mi»«/math» metros.

Obs.: Volumen del cono : «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math».

]]> Solución:

Consideremos que el líquido, en un instante «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math», ocupa el volumen sombreado como lo muestra la figura.
Este volumen será el volumen ingresado al recipiente en el tiempo «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math», consideremos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en el instante en que comienza el llenado.
La relación entre «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» está dada por la siguiente figura (valiéndonos del teorema de Thales o del cálculo trigonométrico).

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi mathvariant="normal"»tan«/mi»«mfenced»«mi»§#952;«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»R«/mi»«mi»H«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«mi»H«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»


Así, el volumen será:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«mi»H«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mfrac»«mi»R«/mi»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Siendo «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math» ( volumen ) y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» ( altura ) funciones de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math».
Derivando la expresión anterior respecto de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math» , obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math» ( ecuación 1)
Nos piden «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» y tenemos como dato que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#q1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»/«/mo»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«/math», entonces al despejar «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» de la ecuación obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Reemplazando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»H«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h2«/mi»«/math», obtenemos.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#q1«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mfenced»«msup»«mi»#h1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«msup»«mi»#r1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«msup»«mi»#h2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mi»#sol«/mi»«/math»

Por lo tanto, la velocidad de llenado cuando la altura del líquido en la tolva es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h2«/mi»«/math» metros es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#sol«/mi»«/math».
Preguntas abiertas:

¿ Crees que ese nivel sube con una velocidad constante?

¿ Qué condiciones crees que debería cumplir el recipiente para que la velocidad sea constante?

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol Bien. Continúa de esa manera.]]> #n1 Recuerda que no estás calculando volumen.]]> #n2 Recuerda que al reemplazar «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»H«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«/math», estas tienen que estar elevadas al cuadrado.]]> #n3 No te confundas con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»H«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«/math»; la primera es la altura de la tolva y la segunda la altura relacionada con la velocidad de llenado.]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»11«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»q1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»r1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»§and;«/mo»«mi»h2«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mi»q1«/mi»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»q1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»h1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»§pi;«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»r1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«msup»«mi»h2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T2«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»§pi;«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»r1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T3«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»q1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»h1«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»§pi;«/mi»«mo»*«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»h2«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T4«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»q1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»h2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»§pi;«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»r1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«msup»«mi»h1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Y1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»q1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»T1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mi»min«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T12«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»T2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mi»min«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T13«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»T3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mi»min«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T14«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»T4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mi»min«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»T11«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»T12«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»T13«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»T14«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n1«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n2«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n3«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«/session»;;;;;; RA7 3.3 Razón de Cambio: Montículo de arena cónico formándose. La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math» .
El grano forma un cono circular recto, cuya altura es constantemente igual a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#b«/mi»«/math» del radio de la base.

Arena

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#pregunta«/mi»«/math»
]]> Solución:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado1«/mi»«/math»


triangulo
El volumen del cono formado por la arena en un instante «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math», viene dado por:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/math»
Como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math»
En consecuencia:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#e«/mi»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» (1) con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
Derivando la expresión (1) respecto a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math» y buscando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (2)

Sabemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/math» sustituyendo en (2):
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mi»§#960;«/mi»«mi»#g«/mi»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#i«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#j«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»#nj«/mi»«mrow»«mi»#dj«/mi»«mo»·«/mo»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8776;«/mo»«mi»#k«/mi»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math»
Que es la velocidad con la que sube el vértice del cono de grano en el instante en que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado2«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado3«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado4«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado5«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado6«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#enunciado7«/mi»«/math»


]]> 1 1 0 1 truetrue 123 #alt1 ¡Excelente! Sigue así. ]]> #alt2 ¡Excelente! Sigue así. ]]> #alt3
Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> #alt4 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»letrah«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»letrar«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»letrat«/mi»«mo»=«/mo»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»subiendo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»verticce«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.015«/mn»«mfrac»«mi»cm«/mi»«mi»seg«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»subiendo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»verticce«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.006«/mn»«mfrac»«mi»cm«/mi»«mi»seg«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»subiendo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»verticce«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.009«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»min«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»subiendo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»verticce«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.004«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»min«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»variando«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»radio«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.003«/mn»«mfrac»«mi»cm«/mi»«mi»seg«/mi»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»en«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»tanto«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»area«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»de«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»base«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mfrac»«mn»91«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mi»cm«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»variando«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»radio«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.002«/mn»«mfrac»«mi»cm«/mi»«mi»seg«/mi»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»en«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»tanto«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»area«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»de«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»base«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mfrac»«mn»78«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«mi»cm«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»variando«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»radio«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.002«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»min«/mi»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»en«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»tanto«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»area«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»de«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»base«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mfrac»«mn»91«/mn»«mn»600«/mn»«/mfrac»«mi»m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»variando«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»radio«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.001«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»min«/mi»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»en«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»tanto«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»area«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»de«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»base«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mfrac»«mn»39«/mn»«mn»350«/mn»«/mfrac»«mi»m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alt1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»subiendo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»verticce«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»2.6«/mn»«mfrac»«mi»cm«/mi»«mi»seg«/mi»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alt2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»subiendo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»verticce«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»1.56«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»min«/mi»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alt3«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»subiendo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»verticce«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.017«/mn»«mfrac»«mi»cm«/mi»«mi»seg«/mi»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alt4«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»está«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»subiendo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»verticce«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.01«/mn»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»min«/mi»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»periodico«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»/«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»periodico«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1.5«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»enunciado4«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»Puesto«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»buscamos«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»de«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»variación«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»del«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»radio«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»en«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»mismo«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»instante«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»calculamos«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»velocidad«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»de«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»variación«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»de«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»la«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»altura;«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»remplazamos«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»el«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»resultado«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»de«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»dh«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mi»dt«/mi»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»que«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»es«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»igual«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»a«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0.504«/mn»«mfrac»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«mi»min«/mi»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»y«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»obtenemos«/ms»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.037«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»kk«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.118«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»o«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.049«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»oo«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.089«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 3.4 Razón de Cambio: Forestación. Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol, se hace el supuesto de que este tiene la forma de cono truncado.
Observa la figura.
Tronco del arbol
Sean r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura.

Recordemos que el volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math» de un tronco de cono está dado por la expresión:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«/math»
Sabiendo que el incremento de r es de #r cm / año, el incremento de R
es de #R cm / año y el de h de #h cm / año.

¿Cuál es la rapidez de variación del volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math» en el momento en que: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/math»
? (en metros cúbicos por año)
]]> Solución:

Recordemos que cuando nos piden determinar la variación de algo en un momento específico, debemos determinar una derivada con respecto al tiempo.

Entonces, debemos determinar la derivada del volumen del tronco con respecto al tiempo, es decir:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (con "t" en años)
Pero si observamos la fórmula del volumen, a simple vista esta no depende del tiempo. Sin embargo, la altura, el radio inferior y el radio superior del tronco, dependen del tiempo de vida que haya tenido el árbol.
En otras palabras R, r, h son funciones de t.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«/math»
Observación: Seguiremos utilizando
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»
 en vez de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»R«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»)«/mo»«/math» pero ten claro que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»
(función volumen) es una función que depende de R, r y h.

Por lo tanto:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»s«/mi»«mi mathvariant="normal"»tan«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»u«/mi»«mi»m«/mi»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»R«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mover»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#65079;«/mo»«/mover»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»R«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»s«/mi»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»é«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mi»i«/mi»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, como sabemos
que el incremento de r es de #r cm / año, el incremento de R
es de #R cm / año y el de h de #h cm / año, podemos inferir que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#R«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»a«/mi»«mi»ñ«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»·«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»a«/mi»«mi»ñ«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»a«/mi»«mi»ñ«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Ahora, reemplazando estos valores en
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#R«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Esta es la función que nos muestra la variación del volumen del árbol.

Para responder a nuestra pregunta,
¿Cuál es la rapidez de variación del volumen
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»
en el momento en que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/math»
?,
solo debemos reemplazar
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/math»

¡Ojo con la unidad de medida! #w m equivale a #h1 cm.

Entonces, reemplazamos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»#R1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#r1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#R«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#r1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#R1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#r1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#j1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#j2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#j3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#j4«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#j5«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»#h«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#j6«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#j7«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»#j8«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#j9«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como hemos trabajado los valores con centímetros cúbicos vamos a cambiar la unidad a metros cúbicos.
Recuerda que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mn»1«/mn»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mn»1«/mn»«mi»m«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mn»100«/mn»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»·«/mo»«mn»100«/mn»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»i«/mi»«mi»v«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»m«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, para transformar de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» debemos dividir por «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»#j9«/mi»«/mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#rc«/mi»«/math»
En efecto, la rapidez de variación del volumen
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math»
en el momento en que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1m«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/math»
es de #rc «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»/«/mo»«mi»a«/mi»«mi»ñ«/mi»«mi»o«/mi»«/math»
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #op1 ¡Excelente! Sigue así. ]]> #op2
Al parecer olvidaste cambiar la unidad de medida.
Revisa el desarrollo para identifcar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> #op3
Al parecer calculaste el volumen del tronco con los datos dados.
Intenta utilizar los conceptos de variación y cambio.
]]> #op4
Al parecer calculaste el volumen del tronco con los datos dados
Intenta utilizar los conceptos de variación y cambio.
]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨»librería«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»variacion«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»8«/mn»«mo»,«/mo»«mn»12«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»13«/mn»«mo»,«/mo»«mn»17«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»23«/mn»«mo»,«/mo»«mn»27«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»momento«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»8«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mn»10«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»7«/mn»«mo»,«/mo»«mn»11«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mn»10«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»w«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h1m«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h1m«/mi»«mo»*«/mo»«mn»100«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j1«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»R1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»r1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j3«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»r1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j4«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»R1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»r1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»j1«/mi»«mo»+«/mo»«mi»j2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»j3«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R«/mi»«mo»*«/mo»«mi»j4«/mi»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«mo»*«/mo»«mi»j5«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j8«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»*«/mo»«mi»j6«/mi»«mo»+«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»j7«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j9«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»047«/mn»«mo»*«/mo»«mi»j8«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j91«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mi»redondear«/mi»«mo»(«/mo»«mi»j9«/mi»«mo»*«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»rc1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»j9«/mi»«msup»«mn»100«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»rc«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mi»redondear«/mi»«mo»(«/mo»«mi»rc1«/mi»«mo»*«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»/«/mo»«mi»año«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»R«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo».«/mo»«mn»0472«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mi»h«/mi»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»R«/mi»«mo»*«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»rj2«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»R1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ri2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mi»redondear«/mi»«mo»(«/mo»«mi»rj2«/mi»«mo»*«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»rj3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»R1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»h1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ri3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mi»redondear«/mi»«mo»(«/mo»«mi»rj3«/mi»«mo»*«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»rc«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»j91«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ri2«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»ri3«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»§quot;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»año«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»B«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»D«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»B«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»D«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»B«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»D«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»B«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»D«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2.53«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«ms»/«/ms»«mi»año«/mi»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2.5345«/mn»«mo»*«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«ms»/«/ms»«mi»año«/mi»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.02«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«ms»/«/ms»«mi»año«/mi»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op4«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»16738.«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«ms»/«/ms»«mi»año«/mi»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 3.5 Razón de Cambio: Termodinámica. Una cerveza fría, inicialmente a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T0«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»°«/mo»«mi»C«/mi»«/math», se calienta hasta «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»°«/mo»«mi»C«/mi»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#M1«/mi»«/math» minutos estando en una habitación a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»°«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
De acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«/math» de la cerveza variará de acuerdo a la función
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»A«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»
Entonces, el instante en que la rapidez instantánea de temperatura es la mitad de la máxima, corresponde a:
]]> Solución:

Primero, debemos hallar el valor de las constantes «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»k«/mi»«/math».
El problema enuncia que inicialmente la temperatura es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T0«/mi»«/math», es decir, cuando el tiempo es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», la temperatura es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#T0«/mi»«/math», reemplazando en la función del enunciado del problema,

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»T«/mi»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»A«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T0«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T0«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T3«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, la función queda de la siguiente forma:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»T«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Para calcular el valor de la constante «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»k«/mi»«/math», utilizamos el otro dato proporcionado por el problema. La cerveza se calienta hasta «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T2«/mi»«mo»°«/mo»«mi»C«/mi»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#M1«/mi»«/math» minutos, es decir, cuando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#M1«/mi»«/math»; entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#M1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#T2«/mi»«/math».
Reemplazando nuevamente en la ecuación (1), tenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»T«/mi»«mfenced»«mi»#M1«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#M1«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T2«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#M1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#M1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T2«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#M1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T2«/mi»«/mrow»«mi»#T3«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#M1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»k«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant="normal"»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T2«/mi»«/mrow»«mi»#T3«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#K2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Así, la función de temperatura es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»
Ahora, calcularemos la rapidez instantánea de cambio que corresponde a la derivada de la temperatura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»T«/mi»«/math» con respecto al tiempo «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math», «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math». Así, por regla de la cadena tenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T3«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#T3«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Esta última expresión corresponde a la rapidez instantánea de temperatura para cualquier «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«msubsup»«mi mathvariant="normal"»§#8477;«/mi»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msubsup»«/math».
Este problema pide buscar cuándo la rapidez es la mitad de la máxima rapidez instantánea, por lo tanto, primero debemos calcular la rapidez instantánea máxima y luego buscar el instante en que ocurre dicha situación.

Para determinar dónde la rapidez instantánea es máxima, debemos volver a derivar; puesto que el criterio de la primera derivada da existencia de posibles máximos o mínimos de una función.
Derivando la rapidez instantánea de temperatura, obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#T5«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Al ser la derivada de la rapidez instantánea de temperatura siempre negativa, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8704;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«msubsup»«mi mathvariant="normal"»§#8477;«/mi»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msubsup»«/math» , tenemos que esta es decreciente en todo su dominio. Luego, su máximo se halla en el valor más pequeño (ínfimo) del dominio y este valor es cuando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Reemplazando en (2), la rapidez instantánea de temperatura, se tiene:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»·«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, la máxima rapidez instantánea de temperatura de la cerveza es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T4«/mi»«/math». Así, la mitad es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T6«/mi»«/math» y para calcular el tiempo en que alcanza la mitad de la máxima rapidez reemplazamos en (2), obteniendo:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»T«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T6«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#T4«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#T7«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi mathvariant="normal"»ln«/mi»«mfenced»«mi»#T7«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mi»#K2«/mi»«mo»§#9226;«/mo»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»#sol«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, el tiempo en que la rapidez instantánea de la temperatura de la cerveza es la mitad de la máxima, es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#sol«/mi»«/math».

Preguntas Abiertas:
  1. ¿Qué ocurre cuando el tiempo es suficientemente grande?.
  2. ¿Es posible que la cerveza alcance los «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#T13«/mi»«mo»°«/mo»«mi»C«/mi»«/math»?. Explique su razonamiento.
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Excelente!
]]> #op1 Debes aplicar logaritmo natural para poder determinar el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math» y luego resolver la ecuación resultante.
]]> #op2 Este valor corresponde al máximo de la rapidez de incremento de la temperatura. Este problema pide el tiempo cuando la rapidez instantánea es la mitad de la máxima rapidez instantánea.
]]> #op3 Recuerda que este ejercicio propone el tiempo que alcanza la mitad de la máxima rapidez instantánea. ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mn»29«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T0«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»T0«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»M1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»T0«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»K1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»T1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»T2«/mi»«/mrow»«mi»T3«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«mi»M1«/mi»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»K2«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»suelo«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo»*«/mo»«mi»K1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo».«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»T3«/mi»«mo»*«/mo»«mi»K2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T5«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»suelo«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo»*«/mo»«mi»T4«/mi»«mo»*«/mo»«mi»K2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»1000«/mn»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»T4«/mi»«mo»/«/mo»«mn»2«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T7«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»T6«/mi»«mi»T4«/mi»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T8«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mi»T7«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mi»K2«/mi»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T9«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»suelo«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo»*«/mo»«mi»T8«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo».«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»minuto«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T10«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»T7«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»minuto«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»T4«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»minuto«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T12«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»minuto«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T13«/mi»«mo»=«/mo»«mi»T1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»T9«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»T10«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»T12«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»T11«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Alternativas«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»K1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.036651«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»K2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.036«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T4«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0.792«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 4.1 Optimización: Maximizar Volumen caja construida. Se desea construir una caja sin tapa, como muestra la figura 2.
Para ello, se utilizan trozos de cartón en forma cuadrada de #l cm.
Figura AFigura B
Figura 1 Figura 2

¿Cuál debe ser la medida «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math» de los lados de los recortes de las esquinas para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen máximo?

]]> Solución:

Observa que las magnitudes de la caja son:
          • x cm de alto
          • (#l-2x) cm de ancho
          • (#l-2x) cm de largo
Se puede inferir que el volumen de la caja será: «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
Luego, nuestra función "volumen" será:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Entonces, queremos saber cuál es el máximo de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math» (función volumen)

Recordemos que para encontrar los máximos y mínimos, se deben determinar los valores críticos en la función derivada. Con el criterio de la segunda derivada, se puede determinar si corresponden a valores que maximizan o minimizan la función.

Calculamos la función derivada:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»m«/mi»«mi»u«/mi»«mi»l«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mi mathvariant="normal"»tan«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Como ya tenemos la función derivada, procedemos a encontrar los valores críticos de x.

Recordemos que estos se encuentran haciendo la función derivada igual a cero

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8658;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#x1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#x2«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Ahora, usaremos el criterio de la segunda derivada para saber cuál de ellos maximiza la función.

Recordemos que si al evaluar los valores críticos en la segunda derivada resulta un número negativo; entonces, la función encuentra un máximo en ese valor de x.

Calculamos la segunda derivada:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#l2«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#l6«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»m«/mi»«mi»u«/mi»«mi»l«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»l«/mi»«mi»o«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»o«/mi»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ddv«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»o«/mi»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Evaluamos los valores críticos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#x1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»24«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#x1«/mi»«mi»#l26«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#x1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ddvx1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
En efecto, como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#x1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» , concluimos que el volumen se #m1 con x=#x1

Analizando x=#x2
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#x2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»24«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#x2«/mi»«mi»#l26«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#x2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ddvx2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#s2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
En efecto, como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#x2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#s2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» . Concluimos que el volumen se #m2 con x=#x2

Finalmente, el volumen de la caja se maximiza en x=#co1 y su volumen será:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»v«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#co1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#co1«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#co1«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#co2«/mi»«/math»

Por lo tanto, el volumen máximo de la caja es #co2 #cm3
]]> 1 1 0 1 falsetrue abc #op1 ¡Excelente! ¡Sigue así! ]]> #op2
Al parecer, elegiste el valor que minimiza el volumen.
Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!

]]> #op3
Al parecer. tienes un error en las dimensiones de la base de la caja.
Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> #op4
Al parecer, tienes un error en las dimensiones de la base de la caja y en la unidad de medida.
Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> #op5 «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»19«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»l«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»pc«/mi»«mo»=«/mo»«mi»raíces«/mi»«mo»(«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»v«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»co1«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»la1«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»co1«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»la1«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»co2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»v«/mi»«mo»(«/mo»«mi»co1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»cm3«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»cm2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»bin«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»l«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»l«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x2«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»l«/mi»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»l2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»l«/mi»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»l6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»l«/mi»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ddv«/mi»«mo»=«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ddvx1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ddvx2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»l26«/mi»«mo»=«/mo»«mi»l2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»l6«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»v«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»s1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»maximiza«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»minimiza«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»s1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»maximiza«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»minimiza«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»vin«/mi»«mo»=«/mo»«mi»l«/mi»«mo»*«/mo»«mi»l«/mi»«mo»*«/mo»«mi»co1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»X«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»co1«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»la1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»co1«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»co1«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»X1«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»cm«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V1«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»co2«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»co2«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»vin«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»vin«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V2«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»cm3«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»cm2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msub»«mi»X«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»X1«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»cm«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»la1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»co2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»cm«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»co1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»vin«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»cm«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»co1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»vin«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«msub»«mi»V1«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«msub»«mi»V2«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»l«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»180«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»x«/ms»«mo»=«/mo»«mn»90«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»cm,«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»V«/ms»«mo»=«/mo»«mn»432000«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«ms»cm«/ms»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»x«/ms»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»cm,«/ms»«mo»§nbsp;«/mo»«ms»V«/ms»«mo»=«/mo»«mn»972000«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«ms»cm«/ms»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»pc«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»90«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»90«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»24«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1440«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»X«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»90«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;;; RA7 4.2 Optimización: Maximizar resistencia y rigidez en aserradero de árboles. La #texto1 de una viga de sección rectangular es proporcional al producto de su ancho «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«/math» por el #texto2 de la altura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math» .
Tronco





#h
Viga
#a

Encuentra las dimensiones de la sección de la viga de máxima #texto1 que puede aserrarse de un tronco de madera de forma cilíndrica de diámetro «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#diametro«/mi»«/math» cm.
Dimensiones de viga de máxima #texto1:
#a = {#1} cm.
#h = {#2} cm.

]]> Solución:

Para encontrar las medidas del ancho y de la altura de la viga que entreguen mayor #texto1 debemos definir la función de #texto1.

Primero, recordemos la definición de dos variables que son directamente proporcionales:

"Dos variables «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math» e «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»y«/mi»«/math»son directamente proporcionales si el cuociente entre ellas es una constante", es decir:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»y«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/math» , donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»k«/mi»«/math» es un número real

Luego, como la #texto1 «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» de una viga de sección rectangular es proporcional al producto de su ancho «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«/math» por el #texto2 de su altura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math», tenemos que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»R«/mi»«mrow»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»#h«/mi»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/math»

Como deseamos maximizar la #texto1, debemos despejar la variable de la #texto1:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»#h«/mi»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»

Como vemos en la figura del enunciado, existe una relación entre el ancho y la altura de la sección rectangular con el diámetro de la viga «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«/math». La relación es:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Luego, despejando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math», vemos que el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math» está en función de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«/math»:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»

Así, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math» dependen de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«/math». Resumiendo:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Como deseamos maximizar la función de #texto1, debemos calcular la derivada de la función de #texto1 e igualar a 0. Así, encontraremos los valores de la variable «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«/math» que maximice la función.
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«mfenced»«mi»#a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto4«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto4«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto4«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Se presentan las siguientes posibilidades:
(1) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» o (2) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#texto4«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» o (3) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
No es posible que se cumplan ni (1) ni (2). Primero, (1) no es verdadero, ya que la proporcionalidad directa exige que la constante de proporcionalidad sea distinta de cero. Segundo, (2) no es verdadero, ya que de ser así, la altura de la viga mediría cero, lo que tampoco es posible. Por lo tanto, nos quedamos con la parte (3). Para resolver la parte (3), necesitamos la derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math».
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Reemplazando en (3) la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y también «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math», se obtiene:
(3) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» / Reemplazando
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#a«/mi»«/mrow»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#texto5«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»

De aquí, despejamos tanto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«/math»:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» ; «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#934;«/mi»«msqrt»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»§#934;«/mi»«msqrt»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Luego, reemplazamos en la ecuación de la altura:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«msup»«mi»#h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»#a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»#h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»#h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»§#934;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mo»·«/mo»«mi»§#934;«/mi»«/mrow»«msqrt»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»R«/mi»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mrow»«mi»#texto3«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mo»·«/mo»«mi»§#934;«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mrow»«mi»#texto6«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mi»§#934;«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por consiguiente, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mi»§#934;«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msqrt»«mrow»«mi»#texto6«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mi»§#934;«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» son las medidas que otorgan la mayor #texto1 a la viga, para un diámetro «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«/math» dado.
En particular, nuestro diámetro mide «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#diametro«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo».«/mo»«/math»
Luego, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»#a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#diametro«/mi»«mo»·«/mo»«msqrt»«mi»#texto5«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#texto5«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#quo«/mi»«mo»·«/mo»«msqrt»«mi»#texto5«/mi»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»#resa«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo».«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#texto10«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#diametro«/mi»«mo»·«/mo»«msqrt»«mi»#texto6«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#texto6«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#quo«/mi»«mo»·«/mo»«msqrt»«mi»#texto6«/mi»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»#resh«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«mo».«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mi»p«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mi»x«/mi»«mo».«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

]]> 2 1 0 0 La #texto1 de una viga de sección rectangular es proporcional al producto de su ancho «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#a«/mi»«/math» por el #texto2 de la altura «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#h«/mi»«/math» .
Tronco





#h
Viga
#a

Encuentra las dimensiones de la sección de la viga de máxima #texto1 que puede aserrarse de un tronco de madera de forma cilíndrica de diámetro «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#diametro«/mi»«/math» cm.
Dimensiones de viga de máxima #texto1:
#a = {1:MC:%100%#resa#¡Excelente!~#erra1#Respuesta Incorrecta, ¡Verifica tus cálculos!~#erra2#Respuesta Incorrecta, ¡Verifica tus cálculos!~#erra3#Respuesta Incorrecta, ¡Verifica tus cálculos!} cm.
#h = {1:MC:%100%#resh#¡Excelente!~#errh1#Respuesta Incorrecta, ¡Verifica tus cálculos!~#errh2#Respuesta Incorrecta, ¡Verifica tus cálculos!~#errh3#Respuesta Incorrecta, ¡Verifica tus cálculos!} cm.

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»precision«/mi»«mo»(«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»TEXTO«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»§quot;«/mo»«mi»resistencia«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§quot;«/mo»«mi»rigidez«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§quot;«/mo»«mi»cuadrado«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§quot;«/mo»«mi»cubo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»texto1«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»TEXTO«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»texto2«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»TEXTO«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»texto3«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»TEXTO«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»texto4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»texto3«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»texto5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»texto3«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»texto6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»texto3«/mi»«mo»*«/mo»«mi»texto5«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»texto10«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»aprox«/mi»«mo».«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»texto10«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»VARIABLES«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»w«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»L«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»VARIABLES«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»VARIABLES«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»quo«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»40«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»diametro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»*«/mo»«mi»quo«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»resa«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mi»diametro«/mi»«mo»*«/mo»«msqrt»«mi»texto5«/mi»«/msqrt»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mfrac»«mi»diametro«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msqrt»«mi»texto5«/mi»«/msqrt»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»diametro«/mi»«mo»*«/mo»«msqrt»«mi»texto5«/mi»«/msqrt»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mi»diametro«/mi»«mo»*«/mo»«msqrt»«mi»texto5«/mi»«/msqrt»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«mo»*«/mo»«mn»3«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»resh«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mi»diametro«/mi»«mo»*«/mo»«msqrt»«mi»texto6«/mi»«/msqrt»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»errh1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mfrac»«mi»diametro«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msqrt»«mi»texto6«/mi»«/msqrt»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»errh2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»diametro«/mi»«mo»*«/mo»«msqrt»«mi»texto6«/mi»«/msqrt»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»errh3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mi»diametro«/mi»«mo»*«/mo»«msqrt»«mi»texto6«/mi»«/msqrt»«mo»)«/mo»«mo»/«/mo»«mi»texto5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«mo»*«/mo»«mn»3«/mn»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«/session» RA7 4.3 Optimización. Construcción de un silo.

Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematado por una bóveda semiesférica. El costo de construcción por m2 es doble en la bóveda que en la parte cilíndrica. La figura siguiente representa lo que se quiere construir:

Silo

Encuentra las dimensiones «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» del silo de Volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#V«/mi»«/math» m3, de forma que el costo de construcción sea mínimo.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«/math» = {#1} m.

h = {#2} m.

]]> Solución:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«/math» el costo por m2 de la parte cilíndrica y sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»b«/mi»«mi»o«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«/math» el costo por m2 de la bóveda.
Como el costo del m2 de la bóveda es el doble del m2 de la parte cilíndrica, tenemos:
(1) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»b«/mi»«mi»o«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»

Así, podemos definir el costo total de la construcción del silo de la siguiente forma:

(2) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»T«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»L«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»b«/mi»«mi»o«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»S«/mi»«mi»e«/mi»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mi»f«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«/math»

Además, sabemos que el Área Lateral de un cilindro está definida como:

(3) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»L«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«/math»
Donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» es el radio de la base y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» es la altura del cilindro.

Y el Área de la Semiesfera, esta definida como:

(4) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»S«/mi»«mi»e«/mi»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mi»f«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»E«/mi»«mi»s«/mi»«mi»f«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»

Luego, considerando (1), (3) y (4), para reemplazarlos en (2), nos queda:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»T«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»L«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»b«/mi»«mi»o«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»S«/mi»«mi»e«/mi»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mi»f«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mi»A«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»T«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»L«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»S«/mi»«mi»e«/mi»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mi»f«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»A«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»4«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»T«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»F«/mi»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»T«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»R«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»o«/mi»«mi»m«/mi»«mi»b«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Como vemos, la función del costo total dependen de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» y de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math», pero sabemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» dependerá en función de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» para definir el costo mínimo. Por lo tanto, podemos decir que C depende exclusivamente de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math».
 Es decir:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mi»r«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Además, como nos han entregado el valor del Volumen del silo, podemos relacionarlo con los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» y de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math». Así, podremos despejar el valor de la altura para quedar en función de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math». Por lo tanto, podemos definir el volumen del silo, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»s«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«/math» como sigue:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»b«/mi»«mi»o«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»b«/mi»«mi»o«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»b«/mi»«mi»o«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»E«/mi»«mi»s«/mi»«mi»f«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»E«/mi»«mi»s«/mi»«mi»f«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«msub»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»E«/mi»«mi»s«/mi»«mi»f«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»D«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»r«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mi»l«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Despejando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» de la última igualdad:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mi»A«/mi»«mi»m«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»f«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»÷«/mo»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Desde luego, como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» queda en función de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math», definimos la función de la altura y calculamos su derivada:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»v«/mi»«mo»+«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Como deseamos minimizar la función del costo, debemos derivarla con respecto a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» y luego igualar a cero:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»c«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego, reemplazando las expresiones correspondientes a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/math» y a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»r«/mi»«mo»·«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»+«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mi»r«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»V«/mi»«mi»r«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» debe ser distinto de cero, se tiene que:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Así, hemos obtenido el valor de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» que minimiza la función de costo. En consecuencia, los valores de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«/math» y de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math», serían:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»§#934;«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#934;«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»r«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»§#934;«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#934;«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»§#934;«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«msup»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«msup»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«msup»«mi»V«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»R«/mi»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«menclose notation="downdiagonalstrike"»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«/menclose»«mo»·«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«mrow»«menclose notation="downdiagonalstrike"»«mi»§#960;«/mi»«/menclose»«mo»·«/mo»«mfrac»«menclose notation="downdiagonalstrike"»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«/menclose»«menclose notation="downdiagonalstrike"»«mi»§#960;«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»S«/mi»«mi»i«/mi»«mi»m«/mi»«mi»p«/mi»«mi»l«/mi»«mi»i«/mi»«mi»f«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Así, las medidas óptimas para minimizar los costos en la construcción del silo son:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo».«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo».«/mo»«/math»
En particular, para nuestro volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#V«/mi»«/math» tenemos que
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»§#8776;«/mo»«mi»#dia«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo».«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#V«/mi»«/mrow»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»§#8776;«/mo»«mi»#alt«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo».«/mo»«/math»
]]> 2 0.1 0 0

Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematado por una bóveda semiesférica. El costo de construcción por m2 es doble en la bóveda que en la parte cilíndrica. La figura siguiente representa lo que se quiere construir:

Silo

Encuentra las dimensiones «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» del silo de Volumen «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#V«/mi»«/math» m3, de forma que el costo de construcción sea mínimo.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»§#934;«/mi»«/math» = {1:MC:%100%#resa#¡Excelente!~#erra1#Respuesta Incorrecta, Verifica tus cálculos!~#erra2#Respuesta Incorrecta, Verifica tus cálculos!~#erra3#Respuesta Incorrecta, Verifica tus cálculos!} m.

h = {1:MC:%100%#resa#¡Excelente!~#erra1#Respuesta Incorrecta, Verifica tus cálculos!~#erra2#Respuesta Incorrecta, Verifica tus cálculos!~#erra3#Respuesta Incorrecta, Verifica tus cálculos!} m.

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»precision«/mi»«mo»(«/mo»«mn»7«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»30«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dia«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mroot»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V«/mi»«/mrow»«pi/»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alt«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dia«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»20«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»resa«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§rfloor;¨ open=¨§lfloor;¨»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo»*«/mo»«mi»dia«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mn»1000«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§rfloor;¨ open=¨§lfloor;¨»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo»*«/mo»«mi»dia«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mn»1000«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«mo»}«/mo»«/mrow»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§rfloor;¨ open=¨§lfloor;¨»«mrow»«mn»1000«/mn»«mo»*«/mo»«mi»dia«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mn»1000«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«mo»}«/mo»«/mrow»«/msup»«mo»/«/mo»«mn»10«/mn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§rfloor;¨ open=¨§lfloor;¨»«mrow»«mn»149«/mn»«mo»*«/mo»«mi»dia«/mi»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mo»(«/mo»«mn»149«/mn»«mo»+«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»infdia«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§rfloor;¨ open=¨§lfloor;¨»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»*«/mo»«mi»dia«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»supdia«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§rceil;¨ open=¨§lceil;¨»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»*«/mo»«mi»dia«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»infalt«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§rfloor;¨ open=¨§lfloor;¨»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»*«/mo»«mi»alt«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»supalt«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a_decimal«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§rceil;¨ open=¨§lceil;¨»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»*«/mo»«mi»alt«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»/«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»resultado«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«mi»dia«/mi»«mo»,«/mo»«mi»alt«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»test«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:=«/mo»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§ges;«/mo»«mi»infdia«/mi»«mo»§and;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§les;«/mo»«mi»supdia«/mi»«mo»§and;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§ges;«/mo»«mi»infalt«/mi»«mo»§and;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§les;«/mo»«mi»supalt«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»?«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»resa«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»9.847«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10.847«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»9.947«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»erra3«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8.939759«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session» RA7 4.4 Optimización: Minimizar material usado en cilindro con volumen dado. e desea construir un envase con forma de cilindro circular recto. Este envase debe contener un volumen de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V1«/mi»«/math». Si el fondo y la tapa tiene doble espesor que la parte lateral del cilindro, entonces el valor del radio que minimiza la cantidad de material es:



]]> Solución:

Para resolver el problema, notemos que la pregunta es hallar las dimensiones del radio que minimiza el cantidad de material. Para esto, empezamos definiendo las variables, sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math» el radio de la base del cilindro y sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» la altura del cilindro.
Con esto tenemos,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»l«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mi»p«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
El problema pide minimizar material, y como se necesita doble espesor en la tapa y fondo del envase, tenemos que la función a minimizar es
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»Á«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Ahora, el volumen a contener es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V1«/mi»«/math»; entonces,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#V0«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/math»
Despejando la variable «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» en la fórmula anterior:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»#V0«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»#V0«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego de despejar la variable «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» , la reemplazamos en la ecuación de Área; quedando
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«mfrac»«mi»#V0«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«mi»R«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«mi»R«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como el ejercicio pide minimizar material, debemos derivar la función área con respecto a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«/math»,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»#V2«/mi»«/mrow»«mi»R«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Igualamos a cero para obtener los puntos críticos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»#V2«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»R«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»#V3«/mi»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mroot»«mi»#R0«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Así, el punto crítico de la función área es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#R1«/mi»«/math».
Ahora, calculamos el signo que posee la derivada de la función área «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»A«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»i«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§lt;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mroot»«mi»#R0«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»i«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#10878;«/mo»«mroot»«mi»#R0«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Por lo tanto, el valor del radio que minimiza la función costo total es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#R1«/mi»«/math». ]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Excelente!]]> #op1 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!

]]> #op2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #op3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V00«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V0«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»V00«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»V0«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«msup»«mi»metro«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced»«msup»«mi»metro«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V2«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V3«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R0«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»*«/mo»«mi»§pi;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mroot»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»R0«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»metro«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»alternativas«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op01«/mi»«mo»=«/mo»«mn»12«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«mo»*«/mo»«mroot»«msup»«mi»R0«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mn»3«/mn»«/mroot»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op02«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»V0«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»§pi;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»*«/mo»«mroot»«msup»«mi»R0«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mn»3«/mn»«/mroot»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op03«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»125«/mn»«mrow»«mi»§pi;«/mi»«mo»*«/mo»«mroot»«mi»R0«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»R1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»op01«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»metro«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»op02«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»metro«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»op03«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced»«mi»metro«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«/session»;;;;;;