Derivadas/3 Análisis de Curvas RA7 1.4 Determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente. La función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #cr si y sólo si:

]]> Solución:

Recordemos que la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» será #cr si:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Entonces, necesitamos calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/math»

Por lo tanto, debemos encontrar la solución de la siguiente inecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#df«/mi»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Para esto debemos encontrar los puntos críticos de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», que se obtienen
resolviendo la siguiente ecuación de segundo grado:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Para resolverla utilizamos la fórmula:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»±«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Así, de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»obtenemos los parámetros:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#bp«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»
Reemplazando estos valores en la fórmula obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#bp«/mi»«mo»)«/mo»«mo»±«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#bp«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»±«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close="" open="{"»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r6«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, podemos escribir la inecuación de la siguiente manera:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#p1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mi»#p2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#p3«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mi»#p4«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

Para que este producto sea #des 0 se debe cumplir que ambos factores sean de #comentario signo, es decir:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#op«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Resolviendo cada inecuación:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des1«/mi»«mi»#r4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des2«/mi»«mi»#r6«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#op«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des3«/mi»«mi»#r4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des4«/mi»«mi»#r6«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

Escribiendo como intervalos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in2«/mi»«mo»[«/mo»«mo»§#8745;«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in4«/mi»«mo»[«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cj«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in5«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in6«/mi»«mo»[«/mo»«mo»§#8745;«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in8«/mi»«mo»[«/mo»«mo»)«/mo»«/math»

Resolviendo, obtenemos:

x#pert#r1#r2#r3#r4#r5#r6#r7

Observemos el gráfico de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math»



#t1
Si observas el gráfico, en rojo está marcada la parte #cr, que coincide con el resultado obtenido.
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #x1#pert#r1#r2#r3#r4#r5#r6#r7 ¡Excelente! ]]> #x1#pert#w1#w2#w3#w4#w5#w6#w7
Revisa el desarrollo para identificar tus errores.
]]> #x1#pert#q1#q2#q3#q4#q5
Revisa el desarrollo para identificar tus errores.
]]> #x1#pert#k1#k2#k3#k4#k5
Revisa el desarrollo para identificar tus errores.
]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»j«/mi»«mo»=«/mo»«mi»raíces«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»nj«/mi»«mo»=«/mo»«mi»longitud«/mi»«mo»(«/mo»«mi»j«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«mo»§and;«/mo»«mi»nj«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§and;«/mo»«msub»«mi»j«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»creciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»decreciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ap«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»bp«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»mbp«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»bp«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»disc«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»bp«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«mi»ap«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»de«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»ap«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»creciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»des«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»des1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r4«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»in2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in1«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»in2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»des2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r6«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»in4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in3«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»in4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r6«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»des3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r4«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»in6«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in5«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»in6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»des4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in7«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r6«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»in8«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in7«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»in8«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r6«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»inc1«/mi»«mo»=«/mo»«reals/»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»inc2«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»b«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»pert«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§isin;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»infin«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»grap«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»80«/mn»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»gn«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»gro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r6«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»80«/mn»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»gn«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»gro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r6«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»opr4«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»opr6«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»q1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»q2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»q3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»q4«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»j«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»q5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»j«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1.9212«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»j«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»1.9212«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»nj«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 1.5 Determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente. Determinar el o los intervalos donde la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math»:]]> Solución:
Para resolver, debemos recordar lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función derivable en su dominio:

- Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math», se tiene que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es #c en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»
Por lo tanto, nuestra función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» será «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math» si  «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
Para obtener «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» utilizamos la regla de la derivada del cuociente (división) de funciones:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f1«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f2«/mi»«/math», reemplazamos en nuestra fórmula:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#f«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#f11«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Por lo tanto,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Ahora, notemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» siempre es mayor que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
o sea,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
si:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#g1«/mi»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
Resolviendo la inecuación tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»
En consecuencia, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math» cuando:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»

Como podemos apreciar en la gráfica, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #c en el tramo de color rojo.

#g6
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #n1#k1#kk#k2#n2#n5#n3#k3#kk2#k4#n4 ¡Muy Bien! Sigue así.

]]> #n11#k11#kkk#k22#n22#n55#n33#k33#kkk2#k44#n44 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #par1#valor1#com1#valor2#par2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #par11#valor11#com11#valor22#par22 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tab1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»creciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»decreciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»f1«/mi»«mi»f2«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»fff«/mi»«mo»=«/mo»«mi»numerador«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»coef1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»coeficiente«/mi»«mo»(«/mo»«mi»fff«/mi»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»coef2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»coeficiente«/mi»«mo»(«/mo»«mi»fff«/mi»«mo»,«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mi»f1«/mi»«/mfenced»«mo»§apos;«/mo»«mo»*«/mo»«mfenced»«mi»f2«/mi»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mi»f2«/mi»«/mfenced»«mo»§apos;«/mo»«mo»*«/mo»«mfenced»«mi»f1«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»f2«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g1«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mi»f1«/mi»«/mfenced»«mo»§apos;«/mo»«mo»*«/mo»«mfenced»«mi»f2«/mi»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mi»f2«/mi»«/mfenced»«mo»§apos;«/mo»«mo»*«/mo»«mfenced»«mi»f1«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g2«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»f2«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»grado«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§or;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§and;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»coef1«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§or;«/mo»«mi»coef2«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f11«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mi»f1«/mi»«/mfenced»«mo»§apos;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f22«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mi»f2«/mi»«/mfenced»«mo»§apos;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grad«/mi»«mo»=«/mo»«mi»grado«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»e«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»c«/mi»«mo»==«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»creciente«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»==«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»j«/mi»«mo»=«/mo»«mi»resolver«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»j«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»l«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»j«/mi»«mo»=«/mo»«mi»resolver«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»j«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»l«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»j«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»==«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»i«/mi»«mo»==«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§and;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»==«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»n19«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n29«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n39«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n49«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n119«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n229«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n339«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n449«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k11«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k33«/mi»«mo»=«/mo»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k44«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n11«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n22«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n33«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n44«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n55«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§cup;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»kkk«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»kkk2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»l«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»k4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»n5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»kk«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»kk2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»graf0«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»10000«/mn»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»negro«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»graf1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»,«/mo»«mi»l«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»graf2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»l«/mi»«mo»,«/mo»«mn»10000«/mn»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»negro«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»graf0«/mi»«mo»,«/mo»«mi»graf1«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»graf2«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ev1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»evaluar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»k«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ev2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»evaluar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»l«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dib1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»k«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ev1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dib2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»l«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ev2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dib«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»dib1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»dib2«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»dib«/mi»«mo»,«/mo»«mi»g4«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»tab1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»g5«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»par4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»com1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»com2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»valor1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»valor2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»valor3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»valor4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»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r»«mtd»«mi»par44«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»com11«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»com22«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»valor11«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»valor22«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»valor33«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»valor44«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»roberto«/mi»«mo»=«/mo»«mi»resolver_inecuación«/mi»«mo»(«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»§gt;«/ms»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»fff«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»56«/mn»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»120«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»par1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»valor1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»com1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»valor2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»par2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»]«/ms»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mfenced»«ms»,«/ms»«/mfenced»«mfenced»«cn»+§infin;«/cn»«/mfenced»«mfenced»«ms»[«/ms»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»par11«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»valor11«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»com11«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»valor22«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»par22«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»]«/ms»«mfenced»«cn»-§infin;«/cn»«/mfenced»«mfenced»«ms»,«/ms»«/mfenced»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mfenced»«ms»[«/ms»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 1.6 Dado un intervalo indicando que f'(x)0 encontrar f. El gráfico de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» que satisface:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#cond«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant="normal"»#i«/mi»«/math» es:

]]> Solución:

Para resolver, debemos recordar el criterio de la primera derivada que postula lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función derivable en su dominio,

- si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math» . Entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es estrictamente creciente en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»[«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»]«/mo»«/math».

- si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math» . Entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es estrictamente decreciente en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»[«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»]«/mo»«/math».

En nuestro caso, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cond«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant="normal"»#i«/mi»«/math», por lo tanto, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es estrictamente #cr en #i2 .

Lo que se refleja en el siguiente gráfico:

#sol

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Excelente!

]]> #sol2 Identifica bien los intervalos de crecimiento y decrecimiento según el criterio de la primera derivada. ¡Tú puedes!

]]> #sol3

Identifica bien los intervalos de crecimiento y decrecimiento según el criterio de la primera derivada.¡Tú puedes!

]]> #sol4

Identifica bien los intervalos de crecimiento y decrecimiento según el criterio de la primera derivada.¡Tú puedes!

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»cond«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»maxalto«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p3«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t3«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»f2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»maxalto«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p4«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p5«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t4«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f4«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/library»«/session»;;;;;; RA7 1.7 Determinar intervalo donde f es cóncava o convexa. La función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es  #cr si:]]> Solución:
Para resolver esta pregunta, debemos recordar lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función dos veces derivable en su dominio:

- Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math», «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es #cr en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

Entonces, la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #cr cuando:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» 
Entonces, calculamos la segunda derivada de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#ddf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Como ya sabemos, para que h(x) sea #cr se debe cumplir que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#ddf«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Luego,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#pinf«/mi»«/math»
Es decir,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mi»#pert«/mi»«mi»#r1«/mi»«mi»#r2«/mi»«mi»#r3«/mi»«mi»#r4«/mi»«mi»#r5«/mi»«/math»
Observemos la gráfica de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math»
#t1
Si observas el gráfico, está marcada en rojo la parte donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» es #cr. Fíjate que coincide con el resultado obtenido.
]]> 1 1 0 1 truetrue abc x#pert#r1#r2#r3#r4#r5 ¡Excelente!]]> x#pert#r1#in#r3#sup#r5 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> x#pert#r1#i2#r3#i4#r5 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> x#pert#re Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»9«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»convexa«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ddf«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»df«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»pinf«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r5«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»pert«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§isin;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»des«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»des«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i2«/mi»«mo»=«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»re«/mi»«mo»=«/mo»«reals/»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»op«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»pinf«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»op«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sup«/mi»«mo»=«/mo»«mi»op«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»in«/mi»«mo»=«/mo»«mi»op«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sup«/mi»«mo»=«/mo»«mi»pinf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»r4«/mi»«mo»=«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»200«/mn»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mi»pinf«/mi»«mo»,«/mo»«mn»9999«/mn»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»200«/mn»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9999«/mn»«mo»,«/mo»«mi»pinf«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tablero1«/mi»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 1.8 Dada una división, indicar en q intervalo es cóncava o convexa y puntos de inflexión. probando Determine el o los intervalos donde la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#fs«/mi»«/math» es #c y además, señale los puntos de inflexión si es que estos existen.]]>
Solución:

Para resolver, debemos recordar lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función 2 veces derivable en su dominio:

- Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math», se tiene que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es #c en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»


Por lo tanto, nuestra función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#fs«/mi»«/math» será #c si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»0
Para obtener «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math» utilizamos la regla de la derivada de cuociente (división) de funciones 2 veces:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f1s«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f2s«/mi»«/math», reemplazamos en nuestra fórmula:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#fs«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#f11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#f3s«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Por lo tanto,
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#f3s«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Nuevamente, aplicamos la regla de la derivada para la división de funciones y así obtenemos la segunda derivada; pero ahora «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f3s«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», entonces, reemplazamos en nuestra fórmula:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mi»#f3s«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#f3s«/mi»«/mfenced»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mi»#f3s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd1s«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2s«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»#fd2s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»(«/mo»«mi»#f3s«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Así:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Observa que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» siempre es mayor que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math», por lo tanto:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#fd22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
si:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#fd22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
Se recomienda que haga una tabla de valores para que analice cuando se cumple que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»

Esto sucederá cuando:


«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»

Finalmente, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#fs«/mi»«/math» es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math» cuando:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»

El siguiente paso es determinar los puntos de inflexión de nuestra función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#fs«/mi»«/math».
Recordemos que un punto de inflexión es un punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«/math» de una función contínua donde se pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Como ya determinamos dónde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» era «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math», entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» será «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#e«/mi»«/math» en:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n11«/mi»«mi»#k11«/mi»«mi»#kkk«/mi»«mi»#k22«/mi»«mi»#n22«/mi»«mi»#n55«/mi»«mi»#n33«/mi»«mi»#k33«/mi»«mi»#kkk2«/mi»«mi»#k44«/mi»«mi»#n44«/mi»«/math»
Por lo tanto, según lo anterior, los puntos de inflexión son:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#ev2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#k«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#ev1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»#par0«/mi»«mi»#ll«/mi»«mi»#par3«/mi»«mi»#ev3«/mi»«mi»#par1«/mi»«/math»

Como podemos apreciar en la gráfica, la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math» en el tramo de color rojo y los puntos negros indican los puntos de inflexión.
#g9

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #n1#k1#kk#k2#n2#n5#n3#k3#kk2#k4#n4 Puntos de inflexión: (#l,#ev2), (#k,#ev2), #par0#ll#par3#ev3#par1 ¡Muy Bien! Sigue así. ]]> #n11#k11#kkk#k22#n22#n55#n33#k33#kkk2#k44#n44 Puntos de inflexión: No existen en está función Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> #n19#k1#kk#k2#n29#n5#n39#k3#kk2#k4#n49 Puntos de inflexión: No existen en está función Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> #n119#k11#kkk#k22#n229#n55#n339#k33#kkk2#k44#n449 Puntos de inflexión: (#l,#ev2), (#k,#ev2) #par0#ll#par3#ev3#par1 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ps1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ps2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mi»cóncava«/mi»«mo»,«/mo»«mi»convexa«/mi»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»d«/mi»«mo»§ne;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»fs«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f1s«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f2s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f11s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f22s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»as«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»d«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f3s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»as«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»fd1s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»as«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»fd2s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»fd11s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»as«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»fd22s«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»d«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol 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mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»g3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»graf3«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g9«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»tab1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»g5«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»fs«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»17«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1s«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«ms»(x«/ms»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«ms»)«/ms»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f2s«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»(x«/ms»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«ms»)«/ms»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f11s«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«ms»2«/ms»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»fs«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; El gráfico de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» que satisface «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cond«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» , si y sólo si

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#i«/mi»«/math» es:

]]> Solución:

Para resolver, debemos recordar el criterio de la segunda derivada que postula lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función dos veces derivable en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»:

- «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava hacia arriba en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

- «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava hacia abajo en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

En nuestro caso, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cond«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#i«/mi»«/math».

Por lo tanto, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava hacia #co en #i.

Lo que se refleja en el siguiente gráfico:

#sol

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #sol ¡Excelente!

]]> #sol2 Identifica bien los intervalos de concavidad según el criterio de la segunda derivada. ¡Tú puedes!

]]> #sol3 Identifica bien los intervalos de concavidad según el criterio de la segunda derivada. ¡Tú puedes!

]]> #sol4 Identifica bien los intervalos de concavidad según el criterio de la segunda derivada. ¡Tú puedes!

]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»cond«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»cond«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»[«/mo»«mo»§cup;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»abajo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sustituir_cadena«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»#«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»2«/mn»«mo»[«/mo»«mo»§cup;«/mo»«mo»]«/mo»«mo»#«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»#«/mo»«mn»4«/mn»«mo»[«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»arriba«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»f2«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F1«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»max1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»máximo«/mi»«mfenced»«mrow»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F1«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F1«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F1«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»F2«/mi»«mfenced»«mi»c«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F3«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Tablero«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max1«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p3«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max1«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p3«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t2«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»f2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max1«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p3«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»max1«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p4«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»escribir«/mi»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§verbar;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§verbar;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»p5«/mi»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»sol4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f3«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»17«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»20«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»17«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»17«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es una función tal que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#mom1«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math» si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1z«/mi»«mi»#k1z«/mi»«mi»#kkz«/mi»«mi»#k2z«/mi»«mi»#n2z«/mi»«mi»#n5z«/mi»«mi»#n3z«/mi»«mi»#k3z«/mi»«mi»#kk2z«/mi»«mi»#k4z«/mi»«mi»#n4z«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»#mom2«/mi»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math» si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math» entonces la gráfica que representa f es:]]> Recordemos que si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#mom1«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math», «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» es #cr.
Como se verifica en la representación gráfica el tramo de color rojo,«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» es #cr cuando:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1z«/mi»«mi»#k1z«/mi»«mi»#kkz«/mi»«mi»#k2z«/mi»«mi»#n2z«/mi»«mi»#n5z«/mi»«mi»#n3z«/mi»«mi»#k3z«/mi»«mi»#kk2z«/mi»«mi»#k4z«/mi»«mi»#n4z«/mi»«/math»
#g4z

Además recordemos que si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»#mom2«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math», «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» es #co.
Como se verifica en la representación gráfica el tramo de color rojo, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» es #co cuando:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»
#g5

]]> 1 0.1 0 1 truetrue abc #grafica1 !Muy bien¡ Continua así ]]> #grafica2 Verifica si los datos entregados corresponden a la representación gráfica.]]> #grafica3 Verifica si los datos entregados corresponden a la representación gráfica.]]> #grafica4 Verifica si los datos entregados corresponden a la representación gráfica.]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T5«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T6«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»mom1«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»mom2«/mi»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»mom2«/mi»«mo»==«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cóncava«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»co«/mi»«mo»=«/mo»«mi»convexa«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»mom1«/mi»«mo»==«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»hz«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mi»creciente«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»hz«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cr«/mi»«mo»=«/mo»«mi»decreciente«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i«/mi»«/msup»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f2a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f3«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i«/mi»«/msup»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f4«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»m4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a4«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i4«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a4«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b4«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f2a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f3«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f4«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f2a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»*«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f3«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»*«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f4«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»m4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a4«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i4«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a4«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b4«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f2a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f3«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f4«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§and;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f2a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»*«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f3«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i«/mi»«/msup»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»i4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»m4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»}«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f4«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»m4«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a4«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»i4«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a4«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»b4«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»}«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f2a«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f3«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafica4«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»T4«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f4«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math»«/output»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f2«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 2.2 Dada la gráfica de f elegir la gráfica de f'. Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es una función cuyo gráfico viene dado por:

#graf

Entonces, la gráfica de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» es:
]]> Solución:

Debemos recordar que la derivada de una función evaluada en un punto se puede interpretar, por ejemplo, como la pendiente de la recta tangente a la curva; es decir, si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» es una función derivable en un punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«/math», entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«/math». Gráficamente: 


Además, el criterio de la primera derivada, gráficamente nos indica lo siguiente:

máx y mín


Analizando el criterio mediante el gráfico, observamos que la pendiente de la recta tangente a la curva en el máximo o mínimo es igual a «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math», es decir,

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»a«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8660;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»z«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»u«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mi»á«/mi»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«mi»m«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mi»í«/mi»«mi»n«/mi»«mi»i«/mi»«mi»m«/mi»«mi»o«/mi»«/math»
Con esta información y graficando los puntos máximo o mínimos de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math», queda el siguiente gráfico:

#grafp

Analizando el gráfico anterior, tenemos que la derivada en esos puntos debe ser «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math» y por las observaciones anteriores, la gráfica de la derivada de la función debe cortar dos veces al eje X.
Por lo tanto, la opción correcta es el gráfico:

#grafd
]]> 1 1 0 1 truetrue abc #grafd ¡Excelente! ]]> #grafr1 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! ]]> #grafr2
Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> #grafr3
Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!
]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Definición«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»función«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»cúbica«/mi»«mo».«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»*«/mo»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d1«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t11«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c1«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t12«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c1«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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open=¨§verbar;¨»«mfrac»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»a2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»prob«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P11«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P12«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P21«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P22«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Distractores«/mi»«mo».«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tr11«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tr12«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tr13«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»prob«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»f1«/mi»«mo»§DifferentialD;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»x«/mi»«/bvar»«mi»df1«/mi»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»f1«/mi»«mo»§DifferentialD;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafr1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr11«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafr2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr12«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafr3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr13«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»a2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»arctan«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»a2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»arctan«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r3«/mi»«mo»=«/mo»«apply»«diff/»«bvar»«mi»x«/mi»«/bvar»«mi»df2«/mi»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»-«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»a2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»arctan«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»0«/mn»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»-«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»a2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mi»arctan«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»0«/mn»«mi»b2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»a2«/mi»«mo»*«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»c1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mi»c2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tr21«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»p1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»a2«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mfrac»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»a2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tr22«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mi»p2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»a2«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mfrac»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»a2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tr23«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mi»a2«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mfrac»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»a2«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»a2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»b2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafr1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr21«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafr2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr22«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafr3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr23«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 2.3 Dada la gráfica de f' elegir la gráfica de f. Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es una función cuyo gráfico de la derivada «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» corresponde a:

#grafd



Entonces, el gráfico de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es: ]]> Solución:

Recordemos que si la derivada de una función evaluada en un punto da como resultado «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math», significa que dicho punto es un posible máximo o mínimo. En este caso, nos dan el gráfico de la derivada de la función; en ella anotaremos donde se hace «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math» , obteniendo el siguiente gráfico:

#grafp

Luego, en esos puntos observamos que se alcanza un máximo o un mínimo.

Analizando las alternativas, encontramos que la función que tiene 3 puntos extremos es el gráfico:

#grafm

Recuerda que también puedes analizar el gráfico de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»de la siguiente manera:

- En los intervalos donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es creciente.

- En los intervalos donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es decreciente.

]]> 1 1 0 0 truefalse abc #graf ¡Excelente!]]> #grafr1 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #grafr2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #grafr3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol 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align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P2«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»P3«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafp«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tp1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»df1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Puntos«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»máximo«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»mínimos«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»evaluar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math 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xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»PM3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»c1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tm1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»12«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»68«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»PM1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»PM2«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»PM3«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y1«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 2.4 Dada la gráfica de f'' elegir la gráfica de f. El siguiente gráfico representa la segunda derivada de una función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»
#grafdd

El gráfico que representa a la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» corresponde a:
]]>
Solución:

Recordemos que una función es cóncava hacia arriba si la recta tangente en el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math» queda por abajo de la gráfica de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» (Figura 1) y que es cóncava hacia abajo si la recta tangente en el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/math» queda por arriba de la gráfica de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» (Figura 2).

Figura 1		hacia abajo





Figura 2



En términos analíticos lo anterior se traduce en el siguiente teorema:
  • Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava hacia arriba.
  • Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», entonces «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es cóncava hacia abajo (convexa).

De esto, obtenemos que cuando la segunda derivada cambia de signo la función pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o viceversa). El punto donde la función cambia de concavidad se denomina Punto de Inflexión y ocurre cuando la segunda derivada cambia de signo.

Aplicado esta información a nuestro ejercicio, se ve en la gráfica de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» que está por sobre el eje X y bajo el eje X, es decir, es positiva y negativa. Dibujando esto en el gráfico del enunciado tenemos que:

#grafMm

En el gráfico, está pintado en rojo donde es positiva y en azul donde es negativa. Por lo tanto, es cóncava hacia abajo en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y cóncava hacia arriba en el resto.

Debemos notar también, que la segunda derivada cambia dos veces de signo, o sea, tiene dos puntos de inflexión o cambios de concavidad. Así, la gráfica de la función que posee todas las características mencionadas anteriormente, corresponde a la alternativa con el gráfico que se muestra a continuación:

#graf

]]> 1 1 0 1 truetrue abc #graf ¡Excelente! ]]> #grafr1 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #grafr2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #grafr3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Definición«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»segunda«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»derivada«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mfenced close=¨§verbar;¨ open=¨§verbar;¨»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§gt;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ddf1«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»14«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafdd«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ddf1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Función«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»original«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§int;«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»§DifferentialD;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§DifferentialD;«/mo»«mi»x«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»14«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»graf«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»t2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Distractores«/mi»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»§DifferentialD;«/mo»«mi»x«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§int;«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»§DifferentialD;«/mo»«mi»x«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»*«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tr1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»14«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tr2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»14«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tr3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»14«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafr1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafr2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»grafr3«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tr3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r3«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«maction actiontype=¨comment¨»«comment»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Gráfico«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»signo«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»de«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»§apos;«/mo»«/math»«/comment»«/maction»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»tMm1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tablero«/mi»«mfenced»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»centro«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»14«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»a1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mi»b1«/mi»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tMm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»,«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura_línea«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tMm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura_línea«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tMm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura_línea«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»verde«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»negro«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»negro«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»verde«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tMm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»,«/mo»«cn»-§infin;«/cn»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura_línea«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tMm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»azul«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura_línea«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»tMm1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»ddf1«/mi»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«cn»+§infin;«/cn»«mo»,«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»anchura_línea«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»verde«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b1«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»negro«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»escribir«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§quot;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»-«/mo»«mn»0«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»negro«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»grafMm«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»punto«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»a1«/mi»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfenced close=¨}¨ open=¨{¨»«mtable align=¨center¨»«mtr»«mtd»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»verde«/mi»«mo»,«/mo»«mi»tamaño_punto«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»;;;;;; RA7 2.5 Dada f indicar donde está el máximo o mínimo (cúbica) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» encuentra un #m local en x=

]]> Recordemos que los máximos o mínimos locales se determinan encontrando los puntos críticos de la función derivada y luego se analizan con la segunda derivada.

Para nuestra pregunta: 
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
En efecto, los puntos críticos de la derivada se obtendrán resolviendo la siguiente ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#df«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8658;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close="" open="{"»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»
reemplazando..
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close="" open="{"»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#b1«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#b1«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»
Ahora necesitamos evaluar estos puntos en la segunda derivada

Calculamos la segunda derivada
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ddf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
reemplazando los puntos críticos que obtuvimos en el paso anterior...
para x=#r1 tenemos que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#p1«/mi»«mi»#r1«/mi»«mi»#p2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ev1«/mi»«/math»
como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ev1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»podemos inferir que el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#r1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» se encuentra en un parte de la curva de f donde es cóncava hacia #con1 , por lo tanto la función encuentra un #t1 local en x=#r1 
Ahora veremos qué pasa con x=#r2
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#p3«/mi»«mi»#r2«/mi»«mi»#p4«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ev2«/mi»«/math»
como «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ev2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»podemos inferir que el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mi»#r2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» se encuentra en un parte de la curva de f donde es cóncava hacia #con2 , por lo tanto la función encuentra un #t2 local en x=#r2
El gráfico muestra en rojo, el punto que buscábamos

#g

]]> 1 0.1 0 0 0 #correcto «session lang=¨es¨ version=¨2.0¨»«library closed=¨false¨»«mtext style=¨color:#ffc800¨ xml:lang=¨es¨»variables«/mtext»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»{«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»máximo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»mínimo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«mo»}«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»repeat«/csymbol»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mo»=«/mo»«mi»aleatorio«/mi»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mo»(«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»dis«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mrow»«mi»dis«/mi»«mo»§isin;«/mo»«integers/»«/mrow»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a2«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»l«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»:«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»d«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»df«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ddf«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«mo»*«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r1«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»dis«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r2«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»*«/mo»«mi»b«/mi»«mo»-«/mo»«mi»dis«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»*«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»r1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»r2«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»p3«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»p4«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ev1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»evaluar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»ddf«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r1«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ev2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»evaluar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»ddf«/mi»«mo»,«/mo»«mi»r2«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»ev1«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»máximo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»des1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»con1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»abajo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»correcto«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»mínimo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»con1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»arriba«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»des1«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»t1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»correcto«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r1«/mi»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»ev2«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»máximo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»con2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»abajo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»des2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»t2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»correcto«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r2«/mi»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»t2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»mínimo«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»con2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mi»arriba«/mi»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»des2«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§quot;«/mo»«mo»§gt;«/mo»«mo»§quot;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«apply»«csymbol definitionURL=¨http://www.wiris.com/XML/csymbol¨»if«/csymbol»«mrow»«mi»t2«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»correcto«/mi»«mo»=«/mo»«mi»r2«/mi»«/mrow»«/apply»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/apply»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tablero«/mi»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»{«/mo»«mi»anchura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mi»altura«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»f«/mi»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mo»=«/mo»«mi»dibujar«/mi»«mo»(«/mo»«mi»punto«/mi»«mo»(«/mo»«mi»correcto«/mi»«mo»,«/mo»«mi»l«/mi»«mo»(«/mo»«mi»correcto«/mi»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»{«/mo»«mi»color«/mi»«mo»=«/mo»«mi»rojo«/mi»«mo»}«/mo»«mo»)«/mo»«/math»«/input»«/command»«/group»«/library»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«/math»«/input»«output»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»tablero1«/mi»«/math»«/output»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«group»«command»«input»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨/»«/input»«/command»«/group»«/session»editor=true RA7 2.6 Dada f indicar donde está el máximo o mínimo (otras familias de funciones) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#sg«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi mathvariant="normal"»#ex1«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» alcanza su #m en x=

]]> Recordemos que los máximos o mínimos locales se determinan encontrando los puntos críticos de la función derivada y luego se analizan con la segunda derivada.

Para nuestra pregunta, la función tiene la forma del cociente 
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#sg«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi mathvariant="normal"»#ex1«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» 
así que derivamos aplicando la fórmula:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
En la cual, tenemos que:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#sg«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#ex1«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#nume«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#dnum«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#deno«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#dden«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mi»#nume«/mi»«mi»#deno«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mi»#dnum«/mi»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mi»#dden«/mi»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mi»#nume«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#s1«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»o«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
luego:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#s1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#deno«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
Ahora necesitamos encontrar los puntos críticos de f, pero más específicamente, necesitamos encontrar los valores con los cuales la derivada se hace cero. 
Para ello, debemos resolver la ecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#s1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#deno«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
En efecto, #comentario1

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»#q1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#q5«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#q2«/mi»«mi»#q3«/mi»«mi»#q4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
#comentario2
#comentario3 #m

Calculamos entonces la segunda derivada:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#s1«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#ds1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#ds2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Y como queremos la segunda derivada solo para evaluar.... reemplazamos #comentario4

Recordemos que si resulta mayor que cero, entonces corresponde a un mínimo y viceversa, ya que la segunda derivada mide la concavidad de una función.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#q5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#e1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#e2«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#e3«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#e4«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#e2«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#nn2«/mi»«mi»#dd2«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
En efecto, 
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#q5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#eva1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»
Por lo tanto la función alcanza un #mm1 en x=#q5

#comentario5
#grafico1

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#comentario6

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#grafico2
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