CÁLCULO/4. DERIVADAS/6 Razón de cambio RA7 3.1 Razón de Cambio: mancha de petróleo. Se han derramado «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#v«/mi»«/math» de petróleo en el mar, dejando una mancha con forma de cilindro recto circular.

Calcula la rapidez con que aumenta el radio de la mancha si el espesor disminuye a razón de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math» en el instante en que su radio es de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#r«/mi»«/math»

obs: Considere que el volumen de la mancha no cambia (permanece constante)

]]>

Solución:

Para resolver el ejercicio, debemos hallar la velocidad con que aumenta el radio «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» a medida que la mancha se expande sobre la superficie del mar en el instante en que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math».

Sabemos que el volumen de la mancha permanece constante y que está en función del radio «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» y de la altura «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math», los que varían respecto al tiempo.

Como la mancha es de forma cilíndrica, su volumen está dado por:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8704;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

Derivamos ambos miembros de la igualdad respecto a «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»§#960;«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

Como el volumen «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«/math» es constante (independiente del tiempo) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».

Por lo tanto, de la igualdad anterior obtenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

Despejando «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» obtenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

Los datos que tenemos son los siguientes:«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#v«/mi»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math» y «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math» (este valor es negativo ya que el espesor de la mancha "disminuye" a razón de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«/math»)

De la relación «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math» despejamos «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math»:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Debemos trabajar en las mismas unidades de medida, por lo tanto, como el volumen «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«/math»está en #u3, escribiremos el radio «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» en #u4.

Por lo tanto, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c3«/mi»«/math»

Reemplazando en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»V«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#v«/mi»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#c3«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«/math»

Finalmente, sustituimos los valores en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mn»3«/mn»«mo»)«/mo»«/math»:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#c3«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#h1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mo»-«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»/«/mo»«mi»#ut«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#sol3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8776;«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, la velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r«/mi»«/math» es aproximadamente de #s1.

]]> 1.0000000 1.0000000 0 true true abc #s1 ¡Muy bien! Continúa de esa manera.

]]> #s2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #s3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #s4 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>,</mo><mn>100</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol><mn>3</mn></msup><mo>,</mo><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol><mn>3</mn></msup><mo>,</mo><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#k">km</csymbol><mn>3</mn></msup><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>50</mn><mo>,</mo><mn>100</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol><mo>,</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol><mo>,</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#k">km</csymbol><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>h</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>,</mo><mn>30</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol><mo>,</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol><mo>,</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#k">km</csymbol><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>unidad</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>km</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#k">km</csymbol><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>,</mo><mn>100</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol><mn>3</mn></msup><mo>,</mo><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol><mn>3</mn></msup><mo>}</mo></mrow></apply></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>u1</mi><mo>=</mo><mi>unidad</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>u2</mi><mo>=</mo><mi>unidad</mi><mo>(</mo><mi>h</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>u3</mi><mo>=</mo><mi>unidad</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>u4</mi><mo>=</mo><mroot><mi>u3</mi><mn>3</mn></mroot></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mrow><msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup><mo>&lt;</mo><mi>v</mi><mo>∧</mo><mi>u4</mi><mo>=</mo><mi>u2</mi><mo>∧</mo><mi>u1</mi><mo>≠</mo><mi>u4</mi></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ut</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/hour">h</csymbol><mo>,</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/second">s</csymbol><mo>,</mo><csymbol definitionURL="http://.../units/minute">min</csymbol><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c3</mi><mo>=</mo><mi>convertir</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>unidad</mi><mo>(</mo><mroot><mi>v</mi><mn>3</mn></mroot><mo>)</mo><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable><mtr><mtd><mi>h1</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>v</mi><mrow><msup><mi>c3</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><pi/></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>sol1</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>h1</mi></mrow></mfrac><mo>*</mo><mo>-</mo><mi>h</mi><mo>/</mo><mi>ut</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>sol2</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mfrac><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>*</mo><mo>-</mo><mi>h</mi><mo>/</mo><mi>ut</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>co1</mi><mo>=</mo><mi>coeficiente</mi><mo>(</mo><mi>sol1</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mn>100</mn><mo>.</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>co2</mi><mo>=</mo><mi>coeficiente</mi><mo>(</mo><mi>sol2</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol3</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>/</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>co1</mi><mo>,</mo><mi>u4</mi><mo>,</mo><mi>ut</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol4</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>/</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>co2</mi><mo>,</mo><mi>u2</mi><mo>,</mo><mi>ut</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>a_decimal</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>redondear</mi><mo>(</mo><mi>co1</mi><mo>*</mo><mn>100</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mn>100</mn><mo>)</mo><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ss</mi><mo>=</mo><mi>a_decimal</mi><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>redondear</mi><mo>(</mo><mi>co2</mi><mo>*</mo><mn>100</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mn>100</mn><mo>)</mo><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s1</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>/</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>u4</mi><mo>,</mo><mi>ut</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s2</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>/</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>u1</mi><mo>,</mo><mi>ut</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s3</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>s1</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s4</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>/</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>ss</mi><mo>,</mo><mi>u1</mi><mo>,</mo><mi>ut</mi><mo>)</mo></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>40.784</mn><mo> </mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/minute">min</csymbol><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>co1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.40784</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>co2</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>49</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.41</mn><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol><ms>/</ms><csymbol definitionURL="http://.../units/minute">min</csymbol></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s2</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.41</mn><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol><ms>/</ms><csymbol definitionURL="http://.../units/minute">min</csymbol></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s3</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mn>0.41</mn><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol><ms>/</ms><csymbol definitionURL="http://.../units/minute">min</csymbol></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s4</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>49.</mn><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol><ms>/</ms><csymbol definitionURL="http://.../units/minute">min</csymbol></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>98</mn><mo> </mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>16</mn><mo> </mo><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>58</mn><mo> </mo><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol><mn>3</mn></msup></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><csymbol definitionURL="http://.../units/meter#c">cm</csymbol></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u2</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u3</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><csymbol definitionURL="http://.../units/meter">m</csymbol><mn>3</mn></msup></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> RA7 3.2 Razón de Cambio: Cono invertido llenándose. Una tolva con forma de cono recto circular invertido, de radio de base «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«/math» y altura «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»H«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«/math», está siendo llenada con un líquido a razón constante de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#q1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» por minuto.
A medida que se produce el llenado, el nivel del líquido en la tolva sube.

Calcula la velocidad con que cambia la altura cuando la altura del líquido en la tolva es de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h2«/mi»«/math» metros.

Obs.: Volumen del cono : «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math».

]]> Solución:

Consideremos que el líquido, en un instante «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math», ocupa el volumen sombreado como lo muestra la figura.

Este volumen será el volumen ingresado al recipiente en el tiempo «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math», consideremos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en el instante en que comienza el llenado.
La relación entre «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»r«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» está dada por la siguiente figura (valiéndonos del teorema de Thales o del cálculo trigonométrico).

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi mathvariant="normal"»tan«/mi»«mfenced»«mi»§#952;«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»R«/mi»«mi»H«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8658;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«mi»H«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Así, el volumen será:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»R«/mi»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«mi»H«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mfrac»«mi»R«/mi»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Siendo «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»V«/mi»«/math» ( volumen ) y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«/math» ( altura ) funciones de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math».

Derivando la expresión anterior respecto de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»t«/mi»«/math» , obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»·«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math» ( ecuación 1)

Nos piden «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» y tenemos como dato que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#q1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»/«/mo»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«/math», entonces al despejar «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» de la ecuación obtenemos:
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mfrac»«msup»«mi»H«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»·«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Reemplazando «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»H«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h2«/mi»«/math», obtenemos.

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#q1«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mfenced»«msup»«mi»#h1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mo»·«/mo»«mfenced»«msup»«mi»#r1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«msup»«mi»#h2«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mi»#sol«/mi»«/math»

Por lo tanto, la velocidad de llenado cuando la altura del líquido en la tolva es de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#h2«/mi»«/math» metros es:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#sol«/mi»«/math».

Preguntas abiertas:

¿ Crees que ese nivel sube con una velocidad constante?

¿ Qué condiciones crees que debería cumplir el recipiente para que la velocidad sea constante?

]]> 1.0000000 1.0000000 0 true true abc #sol Bien. Continúa de esa manera.]]> #n1 Recuerda que no estás calculando volumen.]]> #n2 Recuerda que al reemplazar «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»R«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»H«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«/math», estas tienen que estar elevadas al cuadrado.]]> #n3 No te confundas con «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»H«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»h«/mi»«/math»; la primera es la altura de la tolva y la segunda la altura relacionada con la velocidad de llenado.]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>r1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mfenced><mrow><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>10</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>h1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mfenced><mrow><mn>11</mn><mo>,</mo><mn>20</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>h2</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mfenced><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>9</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>q1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mfenced><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>9</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mrow><mi>r1</mi><mo>≠</mo><mi>h2</mi><mo>∧</mo><mi>h2</mi><mo>≠</mo><mi>q1</mi></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T1</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>q1</mi><mo>*</mo><msup><mi>h1</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mi>π</mi><mo>*</mo><msup><mi>r1</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><msup><mi>h2</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T2</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi><mo>*</mo><msup><mi>r1</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><mi>h1</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T3</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>q1</mi><mo>*</mo><mi>h1</mi></mrow><mrow><mi>π</mi><mo>*</mo><mi>r1</mi><mo>*</mo><mi>h2</mi></mrow></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T4</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>q1</mi><mo>*</mo><msup><mi>h2</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mi>π</mi><mo>*</mo><msup><mi>r1</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><msup><mi>h1</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Y1</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>q1</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T11</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mfenced><mrow><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mo>#</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>/</mo><mo> </mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>T1</mi><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>min</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T12</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mfenced><mrow><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mo>#</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>/</mo><mo> </mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>T2</mi><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>min</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T13</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mfenced><mrow><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mo>#</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>/</mo><mo> </mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>T3</mi><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>min</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T14</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mfenced><mrow><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mo>#</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>/</mo><mo> </mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>T4</mi><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>min</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced><mtable><mtr><mtd><mi>T11</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>T12</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>T13</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>T14</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n1</mi><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n2</mi><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mrow><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n3</mi><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mrow><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math></input></command></group></library></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> RA7 3.3 Razón de Cambio: Montículo de arena cónico formándose. La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math» .

El grano forma un cono circular recto, cuya altura es constantemente igual a «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#b«/mi»«/math» del radio de la base.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#pregunta«/mi»«/math»

]]> Solución:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#enunciado1«/mi»«/math»

El volumen del cono formado por la arena en un instante «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math», viene dado por:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/math»

Como «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#b«/mi»«/math»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mi»R«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«/math»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math»

En consecuencia:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#e«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»§#960;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» (1) con «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

Derivando la expresión (1) respecto a «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» y buscando «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» obtenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» (2)

Sabemos que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math» y «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/math» sustituyendo en (2):

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mi»#me«/mi»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mi»#me«/mi»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»§#960;«/mi»«mi»#g«/mi»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#a«/mi»«mfrac»«mi»#me«/mi»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#h1«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»§#960;«/mi»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#i«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#a«/mi»«mo»·«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»#m1«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»#me«/mi»«/mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#j«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»§#960;«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»#nj«/mi»«mrow»«mi»#dj«/mi»«mo»·«/mo»«mi»§#960;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mrow»«mi»#tiempo«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8776;«/mo»«mi»#k«/mi»«mfrac»«mi»#m1«/mi»«mi»#tiempo«/mi»«/mfrac»«/math»

Que es la velocidad con la que sube el vértice del cono de grano en el instante en que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#d«/mi»«mi»#m1«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#enunciado2«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#enunciado3«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#enunciado4«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#enunciado5«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#enunciado6«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#enunciado7«/mi»«/math»

]]> 1.0000000 1.0000000 0 true true 123 #alt1 ¡Excelente! Sigue así.]]> #alt2 ¡Excelente! Sigue así.]]> #alt3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #alt4 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>letrah</mi><mo>=</mo><mi>h</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>letrar</mi><mo>=</mo><mi>R</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>letrat</mi><mo>=</mo><mi>t</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mrow><mi>a1</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>*</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>29</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>a1</mi><mo>≠</mo><mn>1</mn><mo>∧</mo><mi>a1</mi><mo>≠</mo><mn>2</mn></mrow></apply></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>7</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></mrow><mrow><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>6</mn><mo>,</mo><mn>8</mn><mo>}</mo></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>=</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>e</mi><mo>=</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ee</mi><mo>=</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>me</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>&quot;</mo><msup><mi>m</mi><mn>3</mn></msup><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo><msup><mi>cm</mi><mn>3</mn></msup><mo>&quot;</mo><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol 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</mo><mi>a</mi><mo> </mo><mi>la</mi><mo> </mo><mi>que</mi><mo> </mo><mi>varía</mi><mo> </mo><mi>el</mi><mo> </mo><mi>radio</mi><mo> </mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mi>en</mi><mo> </mo><mi>relación</mi><mo> </mo><mi>a</mi><mo> </mo><mi>la</mi><mo> </mo><mi>velocidad</mi><mo> </mo><mi>que</mi><mo> </mo><mi>varía</mi><mo> </mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mi>primero</mi><mo> </mo><mo> </mo><mi>debemos</mi><mo> </mo><mi>calcular</mi><mo> </mo><mo>#</mo><mn>5</mn><mo> </mo><mi>en</mi><mo> </mo><mi>el</mi><mo> </mo><mi>instante</mi><mo> </mo><mi>en</mi><mo> </mo><mi>que</mi><mo> </mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mo>#</mo><mn>6</mn><mo>#</mo><mn>7</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>letrar</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>letrah</mi><mo>,</mo><mi>letrat</mi><mo>,</mo><mi>dht</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>,</mo><mi>m1</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>alt1</mi><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>alt2</mi><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>alt4</mi><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>alt3</mi><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>C</mi><mo>=</mo><mfenced><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn></mtd><mtd><mn>5</mn></mtd><mtd><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>7</mn></mtd><mtd><mn>8</mn></mtd><mtd><mn>9</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mrow><mi>k</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>01</mn><mo>∧</mo><mi>o</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>01</mn><mo>∧</mo><mi>kk</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>01</mn><mo>∧</mo><mi>oo</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>01</mn></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></msub></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>enunciado1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>Por</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>información</ms><mo> </mo><ms>entregada,</ms><mo> </mo><mi>R</mi><mo>=</mo><mn>8</mn><mo>*</mo><mi>h</mi><mo> </mo><ms>,</ms><mo> </mo><ms>como</ms><mo> </mo><ms>buscamos</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>varía</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>radio</ms><mo> </mo><mi>R</mi><mo> </mo><ms>en</ms><mo> </mo><ms>relación</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>varía</ms><mo> </mo><mi>h</mi><ms>,primero</ms><mo> </mo><mo> </mo><ms>debemos</ms><mo> </mo><ms>calcular</ms><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>dh</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dt</mi></mfrac></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><ms>cm</ms><mn>3</mn></msup></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>uu</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>uu</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.002</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>kk</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.003</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tiempo</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>seg</mi></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>kk</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.002</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>krr</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.001624</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>njj</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.005102</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>djj</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>jj</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.005102</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cm</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><ms>cm</ms><mn>3</mn></msup></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tiempo</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>min</mi></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mtable><mtr><mtd><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>subiendo</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>verticce</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.015</mn><mfrac><mi>cm</mi><mi>seg</mi></mfrac></mtd><mtd><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>subiendo</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>verticce</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.006</mn><mfrac><mi>cm</mi><mi>seg</mi></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>subiendo</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>verticce</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.009</mn><mfrac><mi>m</mi><mi>min</mi></mfrac></mtd><mtd><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>subiendo</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>verticce</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.004</mn><mfrac><mi>m</mi><mi>min</mi></mfrac></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mtable><mtr><mtd><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>variando</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>radio</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.003</mn><mfrac><mi>cm</mi><mi>seg</mi></mfrac><mo> </mo><ms>en</ms><mo> </mo><ms>tanto</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>area</ms><mo> </mo><ms>de</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>base</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mfrac><mn>91</mn><mn>6</mn></mfrac><mi>cm</mi><mo> </mo></mtd><mtd><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>variando</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>radio</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.002</mn><mfrac><mi>cm</mi><mi>seg</mi></mfrac><mo> </mo><ms>en</ms><mo> </mo><ms>tanto</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>area</ms><mo> </mo><ms>de</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>base</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mfrac><mn>78</mn><mn>7</mn></mfrac><mi>cm</mi><mo> </mo></mtd></mtr><mtr><mtd><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>variando</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>radio</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.002</mn><mfrac><mi>m</mi><mi>min</mi></mfrac><mo> </mo><ms>en</ms><mo> </mo><ms>tanto</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>area</ms><mo> </mo><ms>de</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>base</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mfrac><mn>91</mn><mn>600</mn></mfrac><mi>m</mi><mo> </mo></mtd><mtd><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>variando</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>radio</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.001</mn><mfrac><mi>m</mi><mi>min</mi></mfrac><mo> </mo><ms>en</ms><mo> </mo><ms>tanto</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>area</ms><mo> </mo><ms>de</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>base</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mfrac><mn>39</mn><mn>350</mn></mfrac><mi>m</mi><mo> </mo></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>alt1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>subiendo</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>verticce</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>2.6</mn><mfrac><mi>cm</mi><mi>seg</mi></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>alt2</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>subiendo</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>verticce</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>1.56</mn><mfrac><mi>m</mi><mi>min</mi></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>alt3</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>subiendo</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>verticce</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.017</mn><mfrac><mi>cm</mi><mi>seg</mi></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>alt4</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>está</ms><mo> </mo><ms>subiendo</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>verticce</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><mn>0.01</mn><mfrac><mi>m</mi><mi>min</mi></mfrac></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>periodico</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>periodico</mi><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>9</mn></mfrac></mfenced></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.5</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>enunciado4</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>Puesto</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>buscamos</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>de</ms><mo> </mo><ms>variación</ms><mo> </mo><ms>del</ms><mo> </mo><ms>radio</ms><mo> </mo><ms>en</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>mismo</ms><mo> </mo><ms>instante</ms><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>calculamos</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>velocidad</ms><mo> </mo><ms>de</ms><mo> </mo><ms>variación</ms><mo> </mo><ms>de</ms><mo> </mo><ms>la</ms><mo> </mo><ms>altura;</ms><mo> </mo><ms>remplazamos</ms><mo> </mo><ms>el</ms><mo> </mo><ms>resultado</ms><mo> </mo><ms>de</ms><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>dh</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dt</mi></mfrac><mo> </mo><ms>que</ms><mo> </mo><ms>es</ms><mo> </mo><ms>igual</ms><mo> </mo><ms>a</ms><mo> </mo><mn>0.504</mn><mfrac><mrow><mi>m</mi><mo> </mo></mrow><mi>min</mi></mfrac><mo> </mo><ms>y</ms><mo> </mo><ms>obtenemos</ms></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.037</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>kk</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.118</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>o</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.049</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>oo</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.089</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> CÁLCULO/4. DERIVADAS/6 Razón de cambio/razon de cambio 2 04 - Ondas en un lago Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«/math» del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»#«/mo»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«/math» pies/seg. Cuando su diametro es #diam pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área A de la región circular?

obs: Puedes escribir en decimales o valores exactos, recuerda que para los decimales se utiliza el punto.

]]> Sabemos que el área de una circunferencia se determina por la formula:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»

y sabemos que el radio esta cambiando a la razón «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«/math», queremos conocer «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»?«/mo»«/math» en el instante que el radio es r=#rad (mitad del diametro dado). Entonces, derivamos la formula del área, respecto al tiempo:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»r«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mi»dr«/mi»«mi»dt«/mi»«/mfrac»«/math»

reemplazando tenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»rad«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»raz«/mi»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»sol«/mi»«mn»1«/mn»«/math»

]]> 1.0000000 0.3333333 0 0 #sol1 <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>rad</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mn>6</mn><mo>,</mo><mn>8</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>,</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mn>14</mn><mo>,</mo><mn>16</mn><mo>,</mo><mn>18</mn><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>diam</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>rad</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>raz1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol1</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>rad</mi><mo>*</mo><pi/><mo>*</mo><mi>raz1</mi></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mo>*</mo><pi/></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session>]]></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer>#sol1</correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression"/><assertion name="equivalent_symbolic"/></assertions><options><option name="tolerance">10^(-3)</option><option name="relative_tolerance">true</option><option name="precision">4</option><option name="times_operator">·</option><option name="implicit_times_operator">false</option><option name="imaginary_unit">i</option></options><localData><data name="inputField">inlineEditor</data><data name="gradeCompound">and</data><data name="gradeCompoundDistribution"></data><data name="casSession"/></localData></question> 05 Razón de cambio de un Globo Se bombea aire en el interio de un globo a razón de #raz1 pulgadas cúbicas por minuto. Calcular el ritmo de cambio del radio del globo cuando el radio es #rad1 pulgadas.

obs: NO es necesario ingresar las unidades de medición y utiliza tres decimales.

]]> Sea V el volumen del globo y r su radio. Como el volumen está creciendo a razón de #raz1 pulgadas cúbicas por minuto, así tenemos:

Ritmo dado: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»#«/mo»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«/math»

Hallar: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» cuando r=#rad1

Para calcular el ritmo de cambio del radio, hemos de encontrar una ecuación que relacione el radio r con el volumen V.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»

Por derivación implícita respecto de t obtenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mi»dr«/mi»«mi»dt«/mi»«/mfrac»«/math»

Despejamos «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

Finalmente, cuando r=#rad1 el ritmo de cambio es:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»r«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»#«/mo»«mi»rad«/mi»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»r«/mi»«mi»a«/mi»«mi»z«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8776;«/mo»«mo»#«/mo»«mi»s«/mi»«mi»o«/mi»«mi»l«/mi»«mn»1«/mn»«/math» pulgadas por minuto

]]> 1.0000000 0.3333333 0 0 #sol1 <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>rad1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>0</mn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>raz1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>4</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>8</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>*</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>0</mn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol1</mi><mo>=</mo><mi>raz1</mi><mo>*</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>4</mn><mo>*</mo><pi/><mo>*</mo><msup><mi>rad1</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>*</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>0</mn></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>rad1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.3276</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>raz1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7.8737</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.35551</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session>]]></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer>#sol1</correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression"/><assertion name="equivalent_symbolic"/></assertions><options><option name="tolerance">10^(-2)</option><option name="relative_tolerance">true</option><option name="precision">4</option><option name="times_operator">·</option><option name="implicit_times_operator">false</option><option name="imaginary_unit">i</option></options><localData><data name="inputField">inlineEditor</data><data name="gradeCompound">and</data><data name="gradeCompoundDistribution"></data><data name="casSession"/></localData></question> RZC1-CD-DERIVADAS-ALTURA DE UN TRIANGULO

La altura de un triángulo crece #dif_altura «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mi»cm/min«/mi»«/mfenced»«/math» y su área #dif_area «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»/«/mo»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math». ¿Con qué razón cambia la base del triángulo cuando la altura es de #h «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»c«/mi»«mi»m«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math» y el área es de #A «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/math»?

obs: No se bede ingresar las unidades cm/min

]]> 1.0000000 0.3333333 0 0 #sol <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>dif_altura</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dif_area</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>h</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mrow><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>dif_area</mi><mo>></mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>A</mi><mo>*</mo><mi>dif_altura</mi></mrow><mi>h</mi></mfrac></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>A</mi></mrow><mi>h</mi></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>dif_area</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>*</mo><mi>dif_altura</mi></mrow><mi>h</mi></mfrac></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session>]]></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer>#sol</correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression"/><assertion name="equivalent_symbolic"/></assertions><options><option name="tolerance">10^(-4)</option><option name="relative_tolerance">false</option><option name="precision">4</option><option name="implicit_times_operator">false</option><option name="times_operator">·</option><option name="imaginary_unit">i</option></options><localData><data name="inputField">inlineEditor</data><data name="gradeCompound">and</data><data name="gradeCompoundDistribution"></data><data name="casSession"/></localData></question> RZC3-CD-DERIVADAS-M-DISMINUCION AREA SUPERFICIAL

Si una bola de nieve se funde de modo que su área superficial disminuye a razón de #raz «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»c«/mi»«msup»«mi»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»/«/mo»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math». Encuentre la razón a la cual disminuye su radio cuando su diametro es de #diametro cm.

obs: -Indique la razón en positivo (como sabemos que disminuye no es necesario colocar su signo).

-Es mejor dejar expresado y no trabajar con decimales.

]]> 1.0000000 0.3333333 0 0 #sol <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>raz</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>diametro</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>rad</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>diametro</mi><mn>2</mn></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>raz</mi><mrow><mn>8</mn><mo>*</mo><pi/><mo>*</mo><mi>rad</mi></mrow></mfrac></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session>]]></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer>#sol</correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression"/><assertion name="equivalent_symbolic"/></assertions><options><option name="tolerance">10^(-4)</option><option name="relative_tolerance">false</option><option name="precision">4</option><option name="implicit_times_operator">false</option><option name="times_operator">·</option><option name="imaginary_unit">i</option></options><localData><data name="inputField">inlineEditor</data><data name="gradeCompound">and</data><data name="gradeCompoundDistribution"></data><data name="casSession"/></localData></question> RZC4-CD-DERIVADAS-M-DISTANCIA RELATIVA DE DOS AUTOS

Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto. Uno viaja hacia al sur a #y mi/h y el otro hacia el oeste a #x mi/h. ¿Con qué razón aumenta la distancia entre los dos automóviles #t horas más tarde?

obs: No es necesario escribir las unidades mi/h

]]> 1.0000000 0.3333333 0 0 #sol <question><wirisCasSession><![CDATA[<session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>t</mi><mo>*</mo><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></mrow><msqrt><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>*</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt></mfrac></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session>]]></wirisCasSession><correctAnswers><correctAnswer>#sol</correctAnswer></correctAnswers><assertions><assertion name="syntax_expression"/><assertion name="equivalent_symbolic"/></assertions><options><option name="tolerance">10^(-4)</option><option name="relative_tolerance">false</option><option name="precision">4</option><option name="implicit_times_operator">false</option><option name="times_operator">·</option><option name="imaginary_unit">i</option></options><localData><data name="inputField">inlineEditor</data><data name="gradeCompound">and</data><data name="gradeCompoundDistribution"></data><data name="casSession"/></localData></question>