CÁLCULO/4. DERIVADAS/4 Análisis de Curvas RA7 1.4 Determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente. La función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #cr si y sólo si:

]]> Solución:

Recordemos que la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» será #cr si:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

Entonces, necesitamos calcular «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/math»

Por lo tanto, debemos encontrar la solución de la siguiente inecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#df«/mi»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

Para esto debemos encontrar los puntos críticos de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math», que se obtienen

resolviendo la siguiente ecuación de segundo grado:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

Para resolverla utilizamos la fórmula:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8658;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»±«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Así, de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»obtenemos los parámetros:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#bp«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

Reemplazando estos valores en la fórmula obtenemos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#bp«/mi»«mo»)«/mo»«mo»±«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#bp«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#c«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#ap«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»±«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close="" open="{"»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r6«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#mbp«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mi»#disc«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mi»#de«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Por lo tanto, podemos escribir la inecuación de la siguiente manera:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mtable columnalign="left" rowspacing="0"»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#p1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mi»#p2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#p3«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mi»#p4«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

Para que este producto sea #des 0 se debe cumplir que ambos factores sean de #comentario signo, es decir:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#op«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="]" open="["»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s1«/mi»«mi»#opr4«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des3«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#s2«/mi»«mi»#opr6«/mi»«mo»)«/mo»«mi»#des4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»

Resolviendo cada inecuación:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des1«/mi»«mi»#r4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des2«/mi»«mi»#r6«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#op«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des3«/mi»«mi»#r4«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8743;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»#des4«/mi»«mi»#r6«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

Escribiendo como intervalos:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in2«/mi»«mo»[«/mo»«mo»§#8745;«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in3«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in4«/mi»«mo»[«/mo»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cj«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in5«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in6«/mi»«mo»[«/mo»«mo»§#8745;«/mo»«mo»]«/mo»«mi»#in7«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#in8«/mi»«mo»[«/mo»«mo»)«/mo»«/math»

Resolviendo, obtenemos:

x#pert#r1#r2#r3#r4#r5#r6#r7

Observemos el gráfico de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math»

#t1

Si observas el gráfico, en rojo está marcada la parte #cr, que coincide con el resultado obtenido.

]]> 1.0000000 1.0000000 0 true true abc #x1#pert#r1#r2#r3#r4#r5#r6#r7 ¡Excelente! ]]> #x1#pert#w1#w2#w3#w4#w5#w6#w7

Revisa el desarrollo para identificar tus errores.

]]> #x1#pert#q1#q2#q3#q4#q5
Revisa el desarrollo para identificar tus errores.
]]> #x1#pert#k1#k2#k3#k4#k5
Revisa el desarrollo para identificar tus errores.
]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>d</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>*</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>raíces</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>nj</mi><mo>=</mo><mi>longitud</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>∧</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt><mo>∈</mo><integers/><mo>∧</mo><mi>nj</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>∧</mo><msub><mi>j</mi><mn>1</mn></msub><mo>∈</mo><integers/></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable><mtr><mtd><mi>cr</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>&quot;</mo><mi>creciente</mi><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo><mi>decreciente</mi><mo>&quot;</mo><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>x</mi><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>df</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>&apos;</mo><mo> </mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ap</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>bp</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>b</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>mbp</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>bp</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>disc</mi><mo>=</mo><msup><mi>bp</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>*</mo><mi>ap</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>de</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>ap</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>cr</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>creciente</mi><mo>&quot;</mo></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>des</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>a</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>r1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><reals/><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r4</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>-</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r6</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r7</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>grap</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w4</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>-</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w6</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w7</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>r3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r4</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>-</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r6</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r7</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>grap</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><reals/><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w4</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>-</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w6</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><msqrt><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><mi>c</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w7</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>des</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol 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definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>des</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>des1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>des2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>des3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>des4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>comentario</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>igual</mi><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>des1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>des2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>des3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>des4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>comentario</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>distinto</mi><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math 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definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>des2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>in3</mi><mo>=</mo><mi>r6</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>in4</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>in3</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>in4</mi><mo>=</mo><mi>r6</mi></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>des3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>in5</mi><mo>=</mo><mi>r4</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>in6</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>in5</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>in6</mi><mo>=</mo><mi>r4</mi></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>des4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>in7</mi><mo>=</mo><mi>r6</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>in8</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>in7</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>in8</mi><mo>=</mo><mi>r6</mi></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>inc1</mi><mo>=</mo><reals/></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>inc2</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>pert</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>∈</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>infin</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>grap</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>t1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mo>{</mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>80</mn><mo>,</mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>10</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>gn</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>gro</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>r4</mi><mo>,</mo><mi>r6</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>t1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mo>{</mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>80</mn><mo>,</mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>10</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>gn</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>gro</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>r4</mi><mo>,</mo><mi>r6</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>opr4</mi><mo>&lt;</mo><mn>0</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>p1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>(</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>p2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>)</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>s1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>p1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>p2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>s1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>+</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>opr6</mi><mo>&lt;</mo><mn>0</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>p3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>(</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>p4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>)</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>s2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>p3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>p4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>s2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>+</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q2</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q4</mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mn>1</mn></msub></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k2</mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mn>1</mn></msub></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k4</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>j</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>1.9212</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>j</mi><mn>1</mn></msub></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mn>1.9212</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>nj</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> RA7 1.5 Determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente. Determinar el o los intervalos donde la función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#c«/mi»«/math»:]]> Solución:

Para resolver, debemos recordar lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función derivable en su dominio:

- Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math», se tiene que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es #c en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

Por lo tanto, nuestra función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» será «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math» si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»

Para obtener «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» utilizamos la regla de la derivada del cuociente (división) de funciones:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f1«/mi»«/math» y «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f2«/mi»«/math», reemplazamos en nuestra fórmula:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#f«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#f11«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f22«/mi»«mo»)«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Por lo tanto,

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Ahora, notemos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» siempre es mayor que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»
o sea,

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»#g1«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»

si:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#g1«/mi»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math»

Resolviendo la inecuación tenemos que

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»

En consecuencia, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»#c«/mi»«/math» cuando:

«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»

Como podemos apreciar en la gráfica, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #c en el tramo de color rojo.

#g6
]]> 1.0000000 1.0000000 0 true true abc #n1#k1#kk#k2#n2#n5#n3#k3#kk2#k4#n4 ¡Muy Bien! Sigue así.

]]> #n11#k11#kkk#k22#n22#n55#n33#k33#kkk2#k44#n44 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #par1#valor1#com1#valor2#par2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #par11#valor11#com11#valor22#par22 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tab1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mo>{</mo><mi>centro</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>20</mn><mo>,</mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>5</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>&quot;</mo><mi>creciente</mi><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mo>&quot;</mo><mi>decreciente</mi><mo>&quot;</mo><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f1</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mo>*</mo><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><mi>i</mi></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f2</mi><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>f1</mi><mi>f2</mi></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fff</mi><mo>=</mo><mi>numerador</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>coef1</mi><mo>=</mo><mi>coeficiente</mi><mo>(</mo><mi>fff</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>coef2</mi><mo>=</mo><mi>coeficiente</mi><mo>(</mo><mi>fff</mi><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfenced><mi>f1</mi></mfenced><mo>&apos;</mo><mo>*</mo><mfenced><mi>f2</mi></mfenced><mo>-</mo><mfenced><mi>f2</mi></mfenced><mo>&apos;</mo><mo>*</mo><mfenced><mi>f1</mi></mfenced></mrow><msup><mfenced><mi>f2</mi></mfenced><mn>2</mn></msup></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g1</mi><mo>=</mo><mfenced><mi>f1</mi></mfenced><mo>&apos;</mo><mo>*</mo><mfenced><mi>f2</mi></mfenced><mo>-</mo><mfenced><mi>f2</mi></mfenced><mo>&apos;</mo><mo>*</mo><mfenced><mi>f1</mi></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g2</mi><mo>=</mo><msup><mfenced><mi>f2</mi></mfenced><mn>2</mn></msup></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mrow><mi>grado</mi><mo>(</mo><mi>g1</mi><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>∧</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>∨</mo><mi>b</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>∧</mo><mo>(</mo><mi>coef1</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>∨</mo><mi>coef2</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f11</mi><mo>=</mo><mfenced><mi>f1</mi></mfenced><mo>&apos;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f22</mi><mo>=</mo><mfenced><mi>f2</mi></mfenced><mo>&apos;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grad</mi><mo>=</mo><mi>grado</mi><mo>(</mo><mi>g1</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>c</mi><mo>==</mo><mo>&quot;</mo><mi>creciente</mi><mo>&quot;</mo></mrow><mrow><mi>h</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mrow><mi>h</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>i</mi><mo>==</mo><mn>2</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>resolver</mi><mo>(</mo><mi>g1</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k</mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mn>1</mn></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>l</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>resolver</mi><mo>(</mo><mi>g1</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k</mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mn>1</mn></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>l</mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mn>2</mn></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>h</mi><mo>==</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo><mo> </mo><mo>∧</mo><mo> </mo><mi>i</mi><mo>==</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>∧</mo><mo> 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d></mtr><mtr><mtd><mi>par44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com22</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor11</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor22</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math 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</mo><mi>m</mi><mo>==</mo><mn>1</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>n19</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n29</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n39</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n49</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n119</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n229</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n339</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n449</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k11</mi><mo>=</mo><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k22</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n22</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n55</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kkk</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kkk2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k1</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k2</mi><mo>=</mo><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kk</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kk2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf0</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf1</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>10000</mn><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf2</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mn>10000</mn><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>negro</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g3</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>graf1</mi><mo>,</mo><mi>graf2</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g4</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>g3</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ev1</mi><mo>=</mo><mi>evaluar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ev2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib1</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>ev1</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>dib1</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g5</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>dib</mi><mo>,</mo><mi>g4</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g6</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>tab1</mi><mo>,</mo><mi>g5</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><reals/><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>}</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>{</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor2</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>a</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par22</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com22</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor11</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor22</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>h</mi><mo>==</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo><mo> </mo><mo>∧</mo><mo> </mo><mi>i</mi><mo>==</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>∧</mo><mo> </mo><mi>m</mi><mo>==</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>n19</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n29</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n39</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n49</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n119</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n229</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n339</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n449</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k11</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k22</mi><mo>=</mo><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n22</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n55</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kkk</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kkk2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k1</mi><mo>=</mo><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k2</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kk</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kk2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf0</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>10000</mn><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>negro</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf1</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mn>10000</mn><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g3</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>graf0</mi><mo>,</mo><mi>graf1</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g4</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>g3</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ev1</mi><mo>=</mo><mi>evaluar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ev2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib1</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>ev1</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>dib1</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g5</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>dib</mi><mo>,</mo><mi>g4</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g6</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>tab1</mi><mo>,</mo><mi>g5</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>par1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor1</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor2</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><reals/><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par22</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>}</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>{</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>com22</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor22</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>a</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>valor44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>roberto</mi><mo>=</mo><mi>resolver_inecuación</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>m</mi><mo>*</mo><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><mi>i</mi></msup></mrow><mrow><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>i</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>&gt;</ms></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>j</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>10</mn></mrow></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>fff</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>6</mn><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn><mo>*</mo><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>56</mn><mo>*</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>120</mn><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>100</mn></mrow></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>par1</mi><mo> </mo><mi>valor1</mi><mo> </mo><mi>com1</mi><mo> </mo><mi>valor2</mi><mo> </mo><mi>par2</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>]</ms><mfenced><mn>3</mn></mfenced><mfenced><ms>,</ms></mfenced><mfenced><cn>+∞</cn></mfenced><mfenced><ms>[</ms></mfenced></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>par11</mi><mo> </mo><mi>valor11</mi><mo> </mo><mi>com11</mi><mo> </mo><mi>valor22</mi><mo> </mo><mi>par22</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>]</ms><mfenced><cn>-∞</cn></mfenced><mfenced><ms>,</ms></mfenced><mfenced><mn>3</mn></mfenced><mfenced><ms>[</ms></mfenced></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> RA7 1.6 Dado un intervalo indicando que f'(x)0 encontrar f. El gráfico de la función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» que satisface:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»#cond«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» si y sólo si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»#i«/mi»«/math» es:

]]> Solución:

Para resolver, debemos recordar el criterio de la primera derivada que postula lo siguiente:

Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» una función derivable en su dominio,

- si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math» . Entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es estrictamente creciente en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»[«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»]«/mo»«/math».

- si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math» . Entonces, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es estrictamente decreciente en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»[«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»]«/mo»«/math».

En nuestro caso, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#cond«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» si y sólo si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant="normal"»#i«/mi»«/math», por lo tanto, «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es estrictamente #cr en #i2 .

Lo que se refleja en el siguiente gráfico:

#sol

]]> 1.0000000 1.0000000 0 true true abc #sol ¡Excelente!

]]> #sol2 Identifica bien los intervalos de crecimiento y decrecimiento según el criterio de la primera derivada. ¡Tú puedes!

]]> #sol3

Identifica bien los intervalos de crecimiento y decrecimiento según el criterio de la primera derivada.¡Tú puedes!

]]> #sol4
Identifica bien los intervalos de crecimiento y decrecimiento según el criterio de la primera derivada.¡Tú puedes!
]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cond</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>cond</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>[</mo><mo>∪</mo><mo>]</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>#</mo><mn>4</mn><mo>[</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><cn>-∞</cn><mo>,</mo><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i2</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>]</mo><mo>∪</mo><mo>[</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>#</mo><mn>4</mn><mo>]</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><cn>-∞</cn><mo>,</mo><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cr</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>decreciente</mi><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>[</mo><mo>∪</mo><mo>]</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>#</mo><mn>4</mn><mo>[</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><cn>+∞</cn><mo>)</mo><mo> </mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i2</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>#</mo><mn>2</mn><mo>]</mo><mo>∪</mo><mo>[</mo><mo>#</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>#</mo><mn>4</mn><mo>[</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><cn>+∞</cn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cr</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>creciente</mi><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f2</mi><mo>=</mo><mo>∫</mo><mi>f</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F2</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mo>∫</mo><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>maxsol</mi><mo>=</mo><mi>máximo</mi><mfenced><mrow><mfenced close="&verbar;" open="&verbar;"><mrow><mi>F2</mi><mfenced><mi>a</mi></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced close="&verbar;" open="&verbar;"><mrow><mi>F2</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced close="&verbar;" open="&verbar;"><mrow><mi>F2</mi><mfenced><mi>c</mi></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p1</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p2</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p3</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p4</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p5</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f3</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F3</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f4</mi><mo>=</mo><mo>∫</mo><mi>f3</mi></math></input></command><command><input><math 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xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable 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xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mi>a</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p1</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p2</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mi>c</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p3</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>t2</mi><mo>,</mo><mi>f2</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t3</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable 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xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mi>a</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p1</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p2</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mi>c</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p3</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol2</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>t3</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mi>f2</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t4</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>centro</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>22</mn><mo>,</mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>maxalto</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mi>a</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p1</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p4</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>escribir</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&verbar;</mo><mi>b</mi><mo>&verbar;</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>p5</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol3</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>t4</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>f4</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sol4</mi><mo>=</mo><mo> </mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>t1</mi><mo>,</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></library></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> RA7 1.7 Determinar intervalo donde f es cóncava o convexa. La función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #cr si:

obs: Concava= concava hacia arriba; Convexa= concava hacia abajo
]]> Solución:

Para resolver esta pregunta, debemos recordar lo siguiente:

Sea «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» una función dos veces derivable en su dominio:

- Si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» es #cr en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

Entonces, la función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» es #cr cuando:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

Entonces, calculamos la segunda derivada de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#df«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#ddf«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Como ya sabemos, para que h(x) sea #cr se debe cumplir que:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#ddf«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Luego,

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#pinf«/mi»«/math»

Es decir,

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mi»#pert«/mi»«mi»#r1«/mi»«mi»#r2«/mi»«mi»#r3«/mi»«mi»#r4«/mi»«mi»#r5«/mi»«/math»

Observemos la gráfica de «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math»

#t1

Si observas el gráfico, está marcada en rojo la parte donde «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» es #cr. Fíjate que coincide con el resultado obtenido.

]]> 1.0000000 1.0000000 0 true true abc x#pert#r1#r2#r3#r4#r5 ¡Excelente!]]> x#pert#r1#in#r3#sup#r5 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!

]]> x#pert#r1#i2#r3#i4#r5 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!

]]> x#pert#re Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!

]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable><mrow><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>∈</mo><integers/></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>d</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cr</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>&quot;</mo><mi>cóncava</mi><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo><mi>convexa</mi><mo>&quot;</mo><mo>}</mo></mtd></mtr></mtable></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>*</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>*</mo><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>*</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>df</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>&apos;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ddf</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>df</mi><mo>&apos;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>pinf</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>pert</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>∈</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>cr</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>cóncava</mi><mo>&quot;</mo></mrow><mrow><mi>des</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&gt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mrow><mi>des</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&lt;</mo><mo>&quot;</mo></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>a</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>cr</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>cóncava</mi><mo>&quot;</mo></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>r2</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r4</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i2</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i4</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>r2</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r4</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i2</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i4</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>cr</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>cóncava</mi><mo>&quot;</mo></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>r2</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r4</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i2</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i4</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>r2</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r4</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i2</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i4</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>re</mi><mo>=</mo><reals/></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>op</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>pinf</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>op</mi><mo>&gt;</mo><mi>pinf</mi></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>in</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>sup</mi><mo>=</mo><mi>op</mi></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>in</mi><mo>=</mo><mi>op</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>sup</mi><mo>=</mo><mi>pinf</mi></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>r4</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>t1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mo>{</mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>200</mn><mo>,</mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>20</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>pinf</mi><mo>,</mo><mn>9999</mn><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>t1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mo>{</mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>200</mn><mo>,</mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>20</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>9999</mn><mo>,</mo><mi>pinf</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tablero1</mi></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> RA7 1.8 Dada una división, indicar en q intervalo es cóncava o convexa y puntos de inflexión. probando Determine el o los intervalos donde la función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#fs«/mi»«/math» es #c y además, señale los puntos de inflexión si es que estos existen.

obs: Concava=conava hacia arriba; Convexa=concava hacia abajo
]]>

Solución:

Para resolver, debemos recordar lo siguiente:

Sea «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» una función 2 veces derivable en su dominio:

- Si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math», se tiene que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» es #c en «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»]«/mo»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»[«/mo»«/math»

Por lo tanto, nuestra función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#fs«/mi»«/math» será #c si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»#h«/mi»«/math»0

Para obtener «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math» utilizamos la regla de la derivada de cuociente (división) de funciones 2 veces:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»·«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f1s«/mi»«/math» y «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f2s«/mi»«/math», reemplazamos en nuestra fórmula:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#fs«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#f11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»#f22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»#f1s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#f3s«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Por lo tanto,

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#f3s«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Nuevamente, aplicamos la regla de la derivada para la división de funciones y así obtenemos la segunda derivada; pero ahora «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»#f3s«/mi»«/math» y «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», entonces, reemplazamos en nuestra fórmula:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mi»#f3s«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mi»#f3s«/mi»«/mfenced»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mi»#f3s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd1s«/mi»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#f2s«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»#fd2s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»(«/mo»«mi»#f3s«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»#f2s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Así:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Observa que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» siempre es mayor que «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math», por lo tanto:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#fd22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#f2s«/mi»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#h«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

si:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»#fd22s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math»

Se recomienda que haga una tabla de valores para que analice cuando se cumple que:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#fd11s«/mi»«mfenced»«mi»#fd22s«/mi»«/mfenced»«mi»#h«/mi»«/math»«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math»

Esto sucederá cuando:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n1«/mi»«mi»#k1«/mi»«mi»#kk«/mi»«mi»#k2«/mi»«mi»#n2«/mi»«mi»#n5«/mi»«mi»#n3«/mi»«mi»#k3«/mi»«mi»#kk2«/mi»«mi»#k4«/mi»«mi»#n4«/mi»«/math»

Finalmente, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#fs«/mi»«/math» es «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#c«/mi»«/math» cuando:

El siguiente paso es determinar los puntos de inflexión de nuestra función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#fs«/mi»«/math».
Recordemos que un punto de inflexión es un punto «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» de una función contínua donde se pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Como ya determinamos dónde «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» era «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#c«/mi»«/math», entonces, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/math» será «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#e«/mi»«/math» en:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»#n11«/mi»«mi»#k11«/mi»«mi»#kkk«/mi»«mi»#k22«/mi»«mi»#n22«/mi»«mi»#n55«/mi»«mi»#n33«/mi»«mi»#k33«/mi»«mi»#kkk2«/mi»«mi»#k44«/mi»«mi»#n44«/mi»«/math»

Por lo tanto, según lo anterior, los puntos de inflexión son:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mi»#l«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#ev2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#k«/mi»«mo»,«/mo»«mi»#ev1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»#par0«/mi»«mi»#ll«/mi»«mi»#par3«/mi»«mi»#ev3«/mi»«mi»#par1«/mi»«/math»

Como podemos apreciar en la gráfica, la función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» es «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#c«/mi»«/math» en el tramo de color rojo y los puntos negros indican los puntos de inflexión.

#g9

]]> 1.0000000 1.0000000 0 true true abc #n1#k1#kk#k2#n2#n5#n3#k3#kk2#k4#n4 Puntos de inflexión: (#l,#ev2), (#k,#ev2), #par0#ll#par3#ev3#par1 ¡Muy Bien! Sigue así.]]> #n11#k11#kkk#k22#n22#n55#n33#k33#kkk2#k44#n44 Puntos de inflexión: No existen en está función Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! #n19#k1#kk#k2#n29#n5#n39#k3#kk2#k4#n49 Puntos de inflexión: No existen en está función Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! #n119#k11#kkk#k22#n229#n55#n339#k33#kkk2#k44#n449 Puntos de inflexión: (#l,#ev2), (#k,#ev2) #par0#ll#par3#ev3#par1 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes! <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ps1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>(</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ps2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>)</mo><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>d</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mi>cóncava</mi><mo>,</mo><mi>convexa</mi><mo>}</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>∧</mo><mi>d</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>∧</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>fs</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f1s</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f2s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f11s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f22s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>as</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>d</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f3s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd1s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd2s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd11s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd22s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>∧</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>fs</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f1s</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f2s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f11s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f22s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>as</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>*</mo><mi>d</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f3s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd1s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd2s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd11s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd22s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>∧</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>fs</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mfrac><mi>x</mi><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f1s</mi><mo>=</mo><mi>x</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f2s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f11s</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f22s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f3s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd1s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd2s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>as</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd11s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>as2</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>d</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd22s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as2</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>∧</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>fs</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f1s</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>x</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f2s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f11s</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f22s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>f3s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd1s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd2s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>as</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd11s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mi>x</mi><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>as2</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>*</mo><mi>d</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>fd22s</mi><mo>=</mo><mi>sustituir_cadena</mi><mo>(</mo><mo>&quot;</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mo>#</mo><mn>1</mn><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mi>as2</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></apply></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><apply><csymbol 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</mo><mi>m</mi><mo>==</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>tab1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mo>(</mo><mo>{</mo><mi>centro</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>cent</mi><mo>,</mo><mi>evcent</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>20</mn><mo>,</mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>5</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>par0</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>par3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n19</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n29</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n39</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n49</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n119</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n229</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n339</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n449</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k1</mi><mo>=</mo><mi>l</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k2</mi><mo>=</mo><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kk</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kk2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd><mi>k11</mi><mo>=</mo><cn>-∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k22</mi><mo>=</mo><mi>l</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k33</mi><mo>=</mo><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k44</mi><mo>=</mo><cn>+∞</cn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n11</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n22</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n33</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>]</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n44</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>[</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n55</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>∪</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kkk</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>kkk2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf0</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>10000</mn><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>negro</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf1</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf2</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>graf3</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mn>10000</mn><mo>,</mo><mo>{</mo><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>negro</mi><mo>}</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g3</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>graf0</mi><mo>,</mo><mi>graf1</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g7</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>g3</mi><mo>,</mo><mi>graf3</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ev1</mi><mo>=</mo><mi>evaluar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ev2</mi><mo>=</mo><mi>evaluar</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ev3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib1</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>ev1</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib2</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>punto</mi><mo>(</mo><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>ev2</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib3</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib4</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>dib1</mi><mo>,</mo><mi>dib2</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>dib</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>dib4</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g5</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>g3</mi><mo>,</mo><mi>graf3</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g9</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mo>(</mo><mi>tab1</mi><mo>,</mo><mi>g5</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>fac</mi><mo>=</mo><mi>factorizar</mi><mo>(</mo><mi>gg1</mi><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tabla1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><cn>-∞</cn><mo>&quot;</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>facgg1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mo>*</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>*</mo><mfenced><mrow><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>8</mn><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow></mfenced></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>fs</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>8</mn><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>16</mn></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><mo>*</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>17</mn></mrow></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f1s</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><ms>(x</ms><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><ms>)</ms><mn>2</mn></msup></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f2s</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>(x</ms><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><ms>)</ms><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f11s</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms>2</ms><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>i</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mn>1</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math></output></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>fs</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> RA7 2.3 Dada la gráfica de f' elegir la gráfica de f. Si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» es una función cuyo gráfico de la derivada «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» corresponde a:

#grafd

Entonces, el gráfico de la función «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«/math» es: ]]> Solución:

Recordemos que si la derivada de una función evaluada en un punto da como resultado «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math», significa que dicho punto es un posible máximo o mínimo. En este caso, nos dan el gráfico de la derivada de la función; en ella anotaremos donde se hace «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mn»0«/mn»«/math» , obteniendo el siguiente gráfico:

#grafp

Luego, en esos puntos observamos que se alcanza un máximo o un mínimo.

Analizando las alternativas, encontramos que la función que tiene 3 puntos extremos es el gráfico:

#grafm

Recuerda que también puedes analizar el gráfico de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»de la siguiente manera:

- En los intervalos donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es creciente.

- En los intervalos donde «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§lt;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es decreciente.

]]> 1.0000000 1.0000000 0 true false abc #graf ¡Excelente!]]> #grafr1 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #grafr2 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> #grafr3 Revisa el desarrollo para identificar tus errores. ¡Tú puedes!]]> <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">repeat</csymbol><mtable><mtr><mtd><mi>a1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c1</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable><mrow><mi>a1</mi><mo>≠</mo><mi>b1</mi><mo> </mo><mo>∧</mo><mo> </mo><mi>b1</mi><mo>≠</mo><mi>c1</mi><mo>∧</mo><mo> </mo><mi>a1</mi><mo>≠</mo><mi>c1</mi></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>df1</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a1</mi></mrow></mfenced><mo>*</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b1</mi></mrow></mfenced><mo>*</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>td1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>centro</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>68</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafd</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>td1</mi><mo>,</mo><mi>df1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><maction actiontype="comment"><comment><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Respuesta</mi></math></comment></maction><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f1</mi><mo>=</mo><mo>∫</mo><mi>df1</mi><mo>&DifferentialD;</mo><mi>x</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tf1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>centro</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>68</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>graf</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tf1</mi><mo>,</mo><mi>f1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><maction actiontype="comment"><comment><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Distractores</mi></math></comment></maction><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r1</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>df1</mi></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r2</mi><mo>=</mo><apply><diff/><bvar><mi>x</mi></bvar><mi>df1</mi></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r3</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><apply><diff/><bvar><mi>x</mi></bvar><mi>df1</mi></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tr1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>centro</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>68</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tr2</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>centro</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>68</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tr3</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>centro</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>68</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafr1</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tr1</mi><mo>,</mo><mi>r1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafr2</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tr2</mi><mo>,</mo><mi>r2</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafr3</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tr3</mi><mo>,</mo><mi>r3</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><maction actiontype="comment"><comment><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Puntos</mi><mo> </mo><mi>donde</mi><mo> </mo><mi>la</mi><mo> </mo><mi>derivada</mi><mo> </mo><mi>es</mi><mo> </mo><mi>cero</mi></math></comment></maction><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P1</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>a1</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P2</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>b1</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P3</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>c1</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tp1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>centro</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>68</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafp</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tp1</mi><mo>,</mo><mi>P1</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>,</mo><mi>tamaño_punto</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafp</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tp1</mi><mo>,</mo><mi>P2</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>,</mo><mi>tamaño_punto</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafp</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tp1</mi><mo>,</mo><mi>P3</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>rojo</mi><mo>,</mo><mi>tamaño_punto</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafp</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tp1</mi><mo>,</mo><mi>df1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><maction actiontype="comment"><comment><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Puntos</mi><mo> </mo><mi>máximo</mi><mo> </mo><mi>o</mi><mo> </mo><mi>mínimos</mi><mo> </mo><mi>de</mi><mo> </mo><mi>f</mi></math></comment></maction><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y1</mi><mo>=</mo><mi>evaluar</mi><mfenced><mrow><mi>f1</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mi>a1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y2</mi><mo>=</mo><mi>evaluar</mi><mfenced><mrow><mi>f1</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mi>b1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y3</mi><mo>=</mo><mi>evaluar</mi><mfenced><mrow><mi>f1</mi><mo>,</mo><mo>-</mo><mi>c1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>PM1</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>a1</mi><mo>,</mo><mi>y1</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>PM2</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>b1</mi><mo>,</mo><mi>y2</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>PM3</mi><mo>=</mo><mi>punto</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>c1</mi><mo>,</mo><mi>y3</mi></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tm1</mi><mo>=</mo><mi>tablero</mi><mfenced><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>centro</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>anchura</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>altura</mi><mo>=</mo><mn>68</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafm</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tm1</mi><mo>,</mo><mi>PM1</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>azul</mi><mo>,</mo><mi>tamaño_punto</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafm</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tm1</mi><mo>,</mo><mi>PM2</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>azul</mi><mo>,</mo><mi>tamaño_punto</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafm</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tm1</mi><mo>,</mo><mi>PM3</mi><mo>,</mo><mfenced close="}" open="{"><mtable align="center"><mtr><mtd><mi>color</mi><mo>=</mo><mi>azul</mi><mo>,</mo><mi>tamaño_punto</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>grafm</mi><mo>=</mo><mi>dibujar</mi><mfenced><mrow><mi>tm1</mi><mo>,</mo><mi>f1</mi></mrow></mfenced></math></input></command></group></library><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y1</mi></math></input><output><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mfrac><mn>9</mn><mn>4</mn></mfrac></math></output></command></group><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"/></input></command></group></session></wirisCasSession><localData><data name="cas">false</data></localData></question> RA7 2.5 Dada f indicar donde está el máximo o mínimo (cúbica) «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math» tiene un #m local en x=

]]> Recordemos que los máximos o mínimos locales se determinan encontrando los puntos críticos de la función derivada y luego se analizan con la segunda derivada.

Para nuestra pregunta:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#f«/mi»«/math»

En efecto, los puntos críticos de la derivada se obtendrán resolviendo la siguiente ecuación:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#df«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8658;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨¨ open=¨{¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»

reemplazando..

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced close=¨¨ open=¨{¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#b1«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r1«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»-«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mi»#b1«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#c«/mi»«/mrow»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»·«/mo»«mi»#a1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#r2«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»

Ahora necesitamos evaluar estos puntos en la segunda derivada

Calculamos la segunda derivada

reemplazando los puntos críticos que obtuvimos en el paso anterior...

para x=#r1 tenemos que:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#p1«/mi»«mi»#r1«/mi»«mi»#p2«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ev1«/mi»«/math»

como «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ev1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»podemos inferir que el punto «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mi»#r1«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#r1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» se encuentra en un parte de la curva de f donde es cóncava hacia #con1 , por lo tanto la función encuentra un #t1 local en x=#r1

Ahora veremos qué pasa con x=#r2

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#a2«/mi»«mo»·«/mo»«mi»#p3«/mi»«mi»#r2«/mi»«mi»#p4«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#ev2«/mi»«/math»

como «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#ev2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des2«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»podemos inferir que el punto «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mi»#r2«/mi»«mo»,«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»#r2«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» se encuentra en un parte de la curva de f donde es cóncava hacia #con2 , por lo tanto la función encuentra un #t2 local en x=#r2

El gráfico muestra en rojo, el punto que buscábamos

]]> Recordemos que los máximos o mínimos locales se determinan encontrando los puntos críticos de la función derivada y luego se analizan con la segunda derivada.

Para nuestra pregunta, la función tiene la forma del cociente

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»#sg«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»#ex1«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»

así que derivamos aplicando la fórmula:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

En la cual, tenemos que:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#sg«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»#ex1«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»#nume«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#dnum«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»#a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»#b1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#deno«/mi»«mo»§#8658;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»#dden«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»g«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mi»#nume«/mi»«mi»#deno«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mi»#dnum«/mi»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mfenced»«mi»#dden«/mi»«/mfenced»«mo»·«/mo»«mfenced»«mi»#nume«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#s1«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mi»c«/mi»«mi»i«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»t«/mi»«mi»é«/mi»«mi»r«/mi»«mi»m«/mi»«mi»i«/mi»«mi»n«/mi»«mi»o«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»i«/mi»«mi»z«/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

luego:

Ahora necesitamos encontrar los puntos críticos de f, pero más específicamente, necesitamos encontrar los valores con los cuales la derivada se hace cero.

Para ello, debemos resolver la ecuación:

En efecto, #comentario1

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»#q1«/mi»«mo»=«/mo»«mi»#q5«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»#q2«/mi»«mi»#q3«/mi»«mi»#q4«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

#comentario2

#comentario3 #m

Calculamos entonces la segunda derivada:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#s1«/mi»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#ds1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#ds2«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#s1«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mi»#deno«/mi»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Y como queremos la segunda derivada solo para evaluar.... reemplazamos #comentario4

Recordemos que si resulta mayor que cero, entonces corresponde a un mínimo y viceversa, ya que la segunda derivada mide la concavidad de una función.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#q5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#e1«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#e2«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#e3«/mi»«mo»)«/mo»«mo»·«/mo»«mo»(«/mo»«mi»#e4«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»#e2«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»#nn2«/mi»«mi»#dd2«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

En efecto,

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»#q5«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»#eva1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#des1«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»0«/mn»«/math»

Por lo tanto la función alcanza un #mm1 en x=#q5

#comentario5

#grafico1

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»#r1«/mi»«mi»#r2«/mi»«mi»#r3«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»#y1«/mi»«mi»#p1«/mi»«mi»#y2«/mi»«mi»#y1«/mi»«mi»#p2«/mi»«msup»«mi»#y2«/mi»«mi»#d2«/mi»«/msup»«mi»#y3«/mi»«mi»#y1«/mi»«mi»#p3«/mi»«mi»#y2«/mi»«mi»#y1«/mi»«mi»#p4«/mi»«mi»#y2«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»#y1«/mi»«mi»#p2«/mi»«msup»«mi»#y2«/mi»«mi»#d4«/mi»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»#ig«/mi»«mfrac»«mi»#nn3«/mi»«mi»#dd3«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

#comentario6

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»#r1«/mi»«mi»#r2«/mi»«mi»#r3«/mi»«mi»#eva2«/mi»«mi»#des2«/mi»«/math»

#comentario7#q4

#grafico2

#comentario8

]]> 1.0000000 0.1000000 0 0 #correcto <question><wirisCasSession><session lang="es" version="2.0"><library closed="false"><mtext style="color:#ffc800" xml:lang="es">variables</mtext><group><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>{</mo><mo>&quot;</mo><mi>máximo</mi><mo>&quot;</mo><mo>,</mo><mo>&quot;</mo><mi>mínimo</mi><mo>&quot;</mo><mo>}</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ex</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sig</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>}</mo><mo>)</mo></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>sig</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>sg</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>-</mo><mo>&quot;</mo></mrow><mrow><mi>sg</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>&quot;</mo></mrow></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><apply><csymbol definitionURL="http://www.wiris.com/XML/csymbol">if</csymbol><mrow><mi>ex</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><mtable><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ex1</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable><mtable><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>aleatorio</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ex1</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo> </mo><mo>&quot;</mo></mtd></mtr></mtable></apply></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b1</mi><mo>=</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>nume</mi><mo>=</mo><mi>sig</mi><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><msup><mo>)</mo><mi>ex</mi></msup></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>deno</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>nume</mi><mi>deno</mi></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sig</mi><mo>*</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><msup><mo>)</mo><mi>ex</mi></msup></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math></input></command><command><input><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>df</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>&apos;</mo></math></input></command><command><input><math 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</mo><mi>saber</mi><mo> </mo><mi>si</mi><mo> </mo><mi>corresponde</mi><mo> </mo><mi>a</mi><mo> </mo><mi>un</mi><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>comentario4</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mi>nuestro</mi><mo> </mo><mi>valor</mi><mo>&quot;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>comentario5</mi><mo>=</mo><mo>&quot;</mo><mo>¡</mo><mi>Justo</mi><mo> </mo><mi>lo</mi><mo> </mo><mi>que</mi><mo> </mo><mi>buscábamos</mi><mo>!</mo><mo> </mo><mi>Ahora</mi><mo> </mo><mi>observa</mi><mo> </mo><mi>el</mi><mo> </mo><mi>gráfico</mi><mo> </mo><mi>para</mi><mo> </mo><mi>corroborar</mi><mo> </mo><mi>los</mi><mo> </mo><mi>cálculos</mi><mo> 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